3. Seja σ: Ω ⊂ ℝ2 → ℝ3, Ω aberto, uma superfície de classe C1 dada por σ(u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)). Verifique que

dσ / du × dσ / dv = { d(y, z) / d(u, v), d(z, x) / d(u, v), d(x, y) / d(u, v) }

Passo 1

Primeiro temos que estender o que estamos fazendo. Quando o enunciado diz

σ ( u ,   v )   =   ( x   ( u ,   v ) ,   y   ( u ,   v ) ,   z   ( u ,   v ) )

E pede para que verifiquemos

d σ d u × d σ d v

Ele está pedindo para que descubramos

∇ σ

Duas maneiras distintas de dizer a mesma coisa

Passo 2

Pedir o produto vetorial

d σ d u × d σ d v

É pedir

x → y → z → d d u x   d d u y   d d u z   d d v x   d d v y   d d v z  

d σ d u × d σ d v = d d u y   d d v z   - d d v y   d d u z     , d d u z d d v x - d d u x d d v z , d d u x   d d v y - d d u y d d v x  

Essa forma de escrever o produto vetorial é tão valida quanto escrever

d σ d u × d σ d v = d y , z d u , v ,   d z , x d u , v ,   d x , y d u , v  

As duas querem dizer a mesma coisa, na pratica basta usar a que você sentir que é mais fácil de enxergar os vetores

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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