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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 3

3. Seja σ: Ω ⊂ ℝ2 → ℝ3, Ω aberto, uma superfície de classe C1 dada por σ(u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)). Verifique que

d σ d u × d σ d v = d y , z d u , v ,   d z , x d u , v ,   d x , y d u , v  

Passo 1

Primeiro temos que estender o que estamos fazendo. Quando o enunciado diz

σ ( u ,   v )   =   ( x   ( u ,   v ) ,   y   ( u ,   v ) ,   z   ( u ,   v ) )

E pede para que verifiquemos

d σ d u × d σ d v

Ele está pedindo para que descubramos

∇ σ

Duas maneiras distintas de dizer a mesma coisa

Passo 2

Pedir o produto vetorial

d σ d u × d σ d v

É pedir

x → y → z → d d u x   d d u y   d d u z   d d v x   d d v y   d d v z  

d σ d u × d σ d v = d d u y   d d v z   - d d v y   d d u z     , d d u z d d v x - d d u x d d v z , d d u x   d d v y - d d u y d d v x  

Essa forma de escrever o produto vetorial é tão valida quanto escrever

d σ d u × d σ d v = d y , z d u , v ,   d z , x d u , v ,   d x , y d u , v  

As duas querem dizer a mesma coisa, na pratica basta usar a que você sentir que é mais fácil de enxergar os vetores

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja σ : Ω → R 3 , Ω aberto em R 2 , uma superfície de classe C 1 e seja γ : I → Ω uma curva de classe C 1 , com γ t = u t , v t . (Observe que γ t é um ponto de Ω , para todo t ∈ I .) Seja Γ : I → I
Nos Exercícios 25-28, esboce a curva f ( x ,y )=c juntamente com ∇ f e a reta tangente no ponto dado. Em seguida, escreva uma equaçãopara a reta tangente. x 2 - x y + y 2 = 7 - 1 , 2
Nos Exercícios 25-28, esboce a curva f ( x ,y )=c juntamente com ∇ f e a reta tangente no ponto dado. Em seguida, escreva uma equaçãopara a reta tangente. x 2 + y 2 = 4 , 2 , 2
Nos Exercícios 25-28, esboce a curva f ( x ,y )=c juntamente com ∇ f e a reta tangente no ponto dado. Em seguida, escreva uma equaçãopara a reta tangente. x 2 - y = 1 , 2 , 1
Nos Exercícios 25-28, esboce a curva f ( x ,y )=c juntamente com ∇ f e a reta tangente no ponto dado. Em seguida, escreva uma equaçãopara a reta tangente. x y = - 4 2 , - 2