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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 2

Seja σ : Ω → R 3 , Ω aberto em R 2 , uma superfície de classe C 1 e seja γ : I → Ω uma curva de classe C 1 , com γ t = u t , v t . (Observe que γ t é um ponto de Ω , para todo t ∈ I .) Seja Γ : I → I m   σ a curva dada por Γ t = σ γ t . Prove que ∂ σ ∂ u γ t ∧ ∂ σ ∂ v γ t é ortogonal a Γ ' t . Interprete.

Passo 1

Este é um típico exercício conceitual. Parece ser bastante confuso, mas é só a gente dar o que ele pede, que ele nos deixa em paz hahaha.

Passo 2

Queremos provar que ∂ σ ∂ u γ t ∧ ∂ σ ∂ v γ t é ortogonal a Γ ' t .

Assim, tome que

Γ t = σ γ t

Se diferenciando Γ , temos

Γ ' t = ∂ σ γ t ∂ u u ' t + ∂ σ γ t ∂ v v ' t

E maneira simples e direta.

Agora vamos fazer o outro lado do problema e desenvolver ∂ σ ∂ u γ t ∧ ∂ σ ∂ v γ t .

Como o produto vetorial entre 2 vetores da sempre um vetor ortogonal a esses dois, temos que ∂ σ ∂ u γ t ∧ ∂ σ ∂ v γ t é ortogonal a ∂ σ ∂ u γ t e a ∂ σ ∂ v γ t . Assim temos que

∂ σ ∂ u γ t ∧ ∂ σ ∂ v γ t   é   o r t o g o n a l   a   Γ ' t  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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