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Teorema do Sanduiche

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Teoria

O Teorema do Sanduiche, também chamado Teorema do Confronto nos permite calcular limites em funções que, no método tradicional, caem em indeterminações! Se liga nesse exemplo:

Se substituíssemos e teríamos:

-Opaa, e agora?! 😖

Agora a gente vai aprender como resolver esse tipo de problema usando o teorema do sanduiche! 😉

📢 Clique para ver mais:

O que diz o Teorema do Sanduiche

O teorema do sanduiche diz que:

e:

Assim:

Sendo ,  e  funções reais definidas num domínio   e seja  um ponto deste domínio. Em outras palavras a função esta “ensanduichada” pelas funções e , logo o seu limite deve ser igual o das funções vizinhas! Sacou?

Não?! Então bora fazer um exemplo e aprender isso na prática! 😉

Exemplo: Calcule a função abaixo a partir do teorema do sanduiche

Como podemos sair dessa indeterminação? Lembrando que o denominador nunca pode ser igual a zero, podemos dizer que:

Ou seja:

Percebe que:

Multiplicando todo mundo por :

Devemos considerar que pode ser menor que 1, dessa forma:

Escrevendo os limites, temos:

Ou:

Calculamos os limites das extremidades:

Logo:

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Agora vamos praticar com exercícios?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 306 - 45

Sabendo que

1 - x 2 y 2 3 ≤ t g - 1 x y x y ≤ 1

você pode dizer algo sobre

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ?

Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos usar a inequação que ele deu:

1 - x 2 y 2 3 ≤ t g - 1 x y x y ≤ 1

Aplicando o limite:

l i m x , y → 0,0 1 - x 2 y 2 3 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ≤ l i m x , y → 0,0 1 = 1

Passo 2

Calculando o limite da esquerda:

l i m x , y → 0,0 1 - x 2 y 2 3 = 1 - 0 3 = 1

Passo 3

Ou seja:

1 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ≤ 1

Pelo teorema do sanduíche:

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y = 1

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y = 1

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.86 - 2a(modificado)

Seja

f x , y = x 2 y 2 x 2 + y 2

Calcule

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

Passo 1

Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0 2 0 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Observe que

x 2 y 2 x 2 + y 2 = x 2 x 2 + y 2 ⋅ y 2 = y 2 x 2 + y 2 ⋅ x 2

Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 3

Colocar a expressão entre extremos:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

⇒ 0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Ou, se preferir, analogamente, temos que:

0 ≤ y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 4

Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Temos que multiplicar por y 2 :

Como y 2 > 0 , não precisamos nos preocupar com o sinal:

0 ⋅ y 2 ≤ x 2 x 2 + y 2 ⋅ ( y 2 ) ≤ 1 ⋅ y 2

⇒ 0 ≤ x 2 y 2 x 2 + y 2 ⏟ f ( x , y ) ≤ y 2

Passo 5

Tirar os limites:

l i m x , y → ( 0,0 ) 0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) y 2

Passo 6

Calcular os limites dos extremos:

l i m x , y → ( 0,0 ) 0 = 0

l i m x , y → ( 0,0 ) y 2 = 0

Passo 7

Substituir na desigualdade:

0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 ≤ 0

Logo:

l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0

Resposta

l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0

Exercício Resolvido #3

UFRJ, PF 2015.1, questão 4

O valor do limite

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4  

é

(a) 2.

(b) o limite não existe

(c) 0.

(d) ∞

(e) 1.

Passo 1

Vamos primeiro tentar substituir os valores x , y = ( 0,0 ) diretamente:

0 2 sen ⁡ 0 0 2 + 0 4

Claramente não deu certo, caímos numa indeterminação do tipo “ 0 0 ”.

Passo 2

Bem, então vamos tentar aplicar o Teorema do Sanduíche! :)

Vamos dar uma olhada na expressão do limite:

x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4  

A gente tem que limitar alguma coisa, criando uma inequação. E aqui tem algo que parece bem promissor:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 4

Né? Porque y 4 ≥ 0 .

Dividindo tudo por x 2 + y 4 :

0 ≤ x 2 x 2 + y 4 ≤ x 2 + y 4 x 2 + y 4 = 1

Passo 3

Beleza, então essa expressão é limitada. E também temos que

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ y = 0

Logo, pelo teorema do anulamento, diretamente temos que

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ y x 2 x 2 + y 4 = 0

Passo 4

Uma alternativa sem o teorema do anulamento é pegar a inequação

0 ≤ x 2 x 2 + y 4 ≤ 1

e multiplicar por sen ⁡ ( y ) . Mas temos que tomar cuidado com os sinais!

  • Se sen ⁡ ( y ) ≥ 0 :

    • 0 ≤ x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4   ≤ sen ⁡ ( y )

    E como lim ( x , y ) → 0,0 ⁡ sen ⁡ ( y ) = 0 , pelo teorema do Sanduíche:

    lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4   = 0

  • E se sen ⁡ ( y ) ≤ 0 :

0 ≥ x 2 sen ⁡ y x 2 + y 4   ≥ sen ⁡ ( y )

E não vai mudar o resultado: analogamente obtemos que o limite dá zero! :)

Resposta

Alternativa (c)

Exercício Resolvido #4

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – Volume 2, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2001, p. 169 - 4

Calcule

lim h , k → 0,0 ⁡ f x + h ,   y + k - f x , y - 2 x h - k h , k

onde f x , y = x 2 + y

Passo 1

Sabendo que f x , y = x 2 + y , vamos calcular primeiro o termo f x + h ,   y + k da expressão acima:

f x + h ,   y + k = x + h 2 + y + k

Substituindo na expressão:

f x + h ,   y + k - f x , y - 2 x h - k h , k = x + h 2 + y + k - x 2 - y - 2 x h - k h 2 + k 2

O que dá:

x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 - 2 x h h 2 + k 2 = h 2 h 2 + k 2

Passo 2

Tentando calcular o limite, caímos numa indeterminação 0 0 . Então vamos tentar limitar alguma coisa pra aplicar o teorema do sanduíche.

Quando se tem vários termos ao quadrado, é sempre bom começar assim:

0 ≤ h 2 ≤ h 2 + k 2

Mas no limite tem uma raiz, então vamos tirar a raiz disso:

0 ≤ h ≤ h 2 + k 2

Cuidado que h 2 = h , o que é ≠ h se h for negativo, então não se esqueça do módulo! ;)

Passo 3

Agora dividindo tudo por h 2 + k 2 :

0 ≤ h h 2 + k 2 ≤ 1

Isso está bem parecido com a expressão dentro do nosso limite, estamos quase lá!

Agora temos 2 casos, primeiramente o caso h > 0 :

Multiplicando tudo por h , podemos manter os sinais da inequação:

0 ≤ h h h 2 + k 2 ≤ h

0 ≤ h 2 h 2 + k 2 ≤ h  

Aplicando o limite:

lim h ,  k → 0,0 ⁡ 0 ≤ lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 h 2 + k 2 ≤ lim h , k → 0,0 ⁡ h = 0

Logo,

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 h 2 + k 2 = 0

Passo 4

Caso h < 0 :

Não vai mudar grande coisa, a diferença é que dessa vez vamos multiplicar a inequação por - h , que é positivo:

0 ≤ - h h h 2 + k 2 ≤ - h

Como h < 0 , temos - h h = h 2 , assim:

lim h , k → 0,0 ⁡ 0 ≤ lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 h 2 + k 2 ≤ lim h , k → 0,0 ⁡ - h = 0

Da mesma forma, obtemos

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 h 2 + k 2 = 0

Passo 5

Na verdade, até temos um terceiro caso, h = 0 :

Mas bom, fica evidente que também vai dar zero, a inequação ficaria:

0 ≤ h 2 h 2 + k 2 ≤ 0

⇒ lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 h 2 + k 2 = 0

Observação: depois de cair na inequação

0 ≤ h h 2 + k 2 ≤ 1

poderíamos diretamente aplicar o teorema do anulamento e dizer que essa expressão é limitada, e que lim h , k → 0,0 ⁡ h = 0 , qualquer que seja o sinal de h , logo:

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 h 2 + k 2 = 0

Resposta

0

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