Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis
Teoria
Introdução
Em funções de uma variável, se a gente tiver esse limite:
A variável pode se aproximar ao valor de 3 somente pelo eixo : as únicas opções são pela direita e pela esquerda de 3. Nós vimos que quando esses limites são iguais usando esses dois caminhos diferentes, o limite existe.
Se forem diferentes, o limite não existe.
A gente quer usar essa mesma ideia de limites diferentes por caminhos diferentes para mostrar que um limite de várias variáveis não existe.
E por que querer mostrar que um limite não existe? Cara, se você sabe que um limite não existe, você não perde tempo tentando calcular o valor dele, né?
Então, quando a gente encontra um limite de várias variáveis que cai numa indeterminação, nós avaliamos se o limite não existe, porque se for verdade, isso nos ajuda a ganhar tempo, já que não vamos precisar aplicar várias técnicas mais trabalhosas para achar o valor desse cara.
Vem ver como fica!
Infinitos caminhos
Olha para esse limite:
Substituindo os valores, encontramos a indeterminação .
Como agora o nosso domínio é uma região no plano (e não mais um eixo apenas), os caminhos que vamos usar para chegar no nosso ponto são curvas em , e não mais só o eixo .
Como assim? Vamos escolher duas curvas para chegar no ponto . Eu vou escolher aqui e . Você poderia ter escolhidos outros, tá? É só para gente ver como a gente usa essas equações como caminhos na expressão do limite.
Vamos começar calculando esse limite através da reta . Na prática, é só substituir e calcular o limite simples:
Pode ter parecido meio mágica sumir com o no limite. Mas, não é não! Se a gente está em cima do caminho , quando for para 0 o também vai!
Agora vamos calcular o limite pelo outro caminho: pela reta :
Opa, os limites foram diferentes! Aí aqui a gente usa a mesma ideia de limite de uma variável. Se o valor do limite foi diferente para caminhos diferentes, o limite não existe. Logo, nosso limite não existe!
Graficamente, o que a gente fez foi andar sobre essas duas retas, usando-as como caminhos para fazer “chegar em” . Imagina que elas sãos estradas mesmo para chegarmos no ponto :
Lembra que eu disse que você poderia ter usado outras curvas que “chegam” em , ou seja, que passam por esse ponto? Quantas curvas a gente pode pensar que passam por esse ponto? Tem , ou seja, infinitas curvas passam por .
Então teríamos infinitas possibilidades de caminhos para usar para chegar em ? Isso mesmo!
Quando a gente fala de limite de várias variáveis, o número de caminhos possíveis para chegar em um ponto é infinito, porque esses caminhos são dados por curvas em que passam pelo ponto. Aí temos infinitas possibilidades.
Caminhos Genéricos
Mas o que mais a gente pode tirar disso? A questão é que um limite existe somente se não depender do caminho! Ou seja, se o valor dele for o mesmo para QUALQUER caminho usado.
E é aí que entra o nosso pulo do gato: para mostrar que um limite não existe, a gente só precisa mostrar que o valor dele muda se o caminho usado mudar.
Então uma outra maneira prática de você verificar se o limite não existe é através de um caminho genérico. Por exemplo, através da reta . Em vez de usar várias retas como antes, a gente usa uma reta com uma constante genérica. Nosso limite fica:
Ao variar o valor de , eu estou mudando a reta que estou usando (basta lembrar que ). Variando , achamos diferentes valores para o limite certo? Então, o valor dele depende do caminho usado.
Como depende do caminho, o limite não existe!
Na prática é usar um caminho genérico que tenha uma constante . Sempre usamos polinômios do tipo
Ou do tipo
Aí a gente escolhe um valor de , deixa como mesmo, e substitui esse cara no limite. Se o valor do limite depender de , cê pode dizer que ele não existe. Essa é a jogada! :)
Vamos ver como escolher mais a frente, tá? Se preocupa não. 😉
Graus do numerador e do denominador
E quando você vai testar a não existência do limite com indeterminação?
Uma boa pista é quando o grau do numerador for menor ou igual ao grau do denominador. Nesse exemplo aí em cima o grau do numerador é e o grau do denominador é também. Essa é uma boa pista de que o limite não existe.
Observação: quando houver termos e multiplicados, some os expoentes para determinar o grau.
Vamos tentar um novo exemplo:
O grau do numerador é:
E o do denominador também é . Então isso já é um bom indício que o limite provavelmente não existe.
Vamos calcular o limite pelo caminho e ver no que dá:
Opa, então o limite depende do ! Portanto, ele não existe.
Por que foi uma boa usar ? Cara, isso facilitou nossas contas, tanto na hora de isolar no denominador quanto em isolar no numerador. Isso porque todos os termos ficaram com o mesmo expoente. Se a gente tivesse feito :
Aí já fica difícil de arrumar né?
Então temos um bizu: a gente pode escolher caminhos genéricos convenientes. E como fazer essa escolha? Escolha o caminho que vai deixar todos os termos do numerador que estão em soma com o mesmo expoente, e que vai fazer o mesmo com os termos do denominador.
Aqui foi lindo porque os termos do numerador e denominador até acabaram ficando com expoentes iguais. Isso não é necessário, mas facilita mais ainda!
Poderíamos escolher . Iria dar certo assim como , pelo motivo que acabamos de ver. 😊
Soma de termos com expoentes diferentes
Outra pista de quando a gente pode usar esse método é quando houver um termo em e um termo em com expoentes diferentes. E esses termos de expoentes diferentes estiverem somados.
Tipo esse aqui:
Lembra que queremos que, depois que a gente substitui nossos caminhos e dá uma arrumada, os termos somados no denominador fiquem com os mesmos expoentes?
Então a gente pode pensar em um termo do tipo , que substituindo em , faça o expoente dele ser , como o outro termo da soma. Se a gente pensar em , olha o que acontece
Olha! Era o que a gente queria. Que aparecesse um . Então cê pode escolher para deixar os expoentes dos termos em soma iguais pensando assim:
- Identifica o maior expoente da soma. No nosso caso o .
- Identifica o menor expoente, no caso, o .
- Divide o maior expoente pelo menor. No nosso caso .
- Aí esse vai ser o expoente da equação que você vai substituir na variável que antes tinha o menor expoente, ou seja, vamos substituir em .
Para o nosso limite ali, vimos que podemos usar . Aí os expoentes de baixo ficam iguais:
Quando o limite tende a infinito ele não existe, logo esse limite aí não existe.
OBSERVAÇÃO: Para acabar, essa é a observação mais importante de todas e eu não quero te ver errando isso! Quando a gente calcula o limite e dá diferente para diferentes caminhos, o limite não existe. Beleza.
Mas, e se estiver dando igual para todos os caminhos que a gente testar? Podemos afirmar que o limite existe? Não !!! A gente não pode afirmar nada!!!
Nesse caso, teríamos que calcular o limite com as técnicas para limites indeterminados mesmo. Mas isso é outro papo hehe
Agora é treinar nos exercícios! 😉
Caminhos Genéricos
Graus do numerador e do denominador
Soma de termos com expoentes diferentes
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Calcule , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.
Passo 1
Primeira coisa a fazer é substituir os valores e ver o que acontece
Caímos numa indeterminação
Passo 2
Repara que o grau do numerados e do denominador é o mesmo. Ambos são
Quando isso acontecer, é bom verificar antes se o limite existe.
Para isso, vamos escolher um caminho para calcular esse limite. Um caminho simples de pensar é a reta .
Na prática, é só substituir e calcular o limite simples. Pode ter parecido meio mágica sumir com o no limite. Mas, não é não! Se a gente esta em cima do caminho y=x, quando for para 1 o também vai!
Já deu problema, porque temos uma divisão por , quando temos um limite independente por onde viermos não podemos ter problemas, então esse limite não existe.
Resposta
O limite não existe
Exercício Resolvido #2
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.81 – EXEMPLO 3.10(modificado)
Seja
Calcule
Passo 1
Tentar substituir valores:
Chegamos a uma indeterminação .
Passo 2
Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:
Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:
Também não há nenhuma função trigonométrica. E além disso:
Grau do numerador:
Grau do denominador:
Então, suspeitamos que esse limite não existe.
Passo 3
Vamos substituir e calcular o limite através desse caminho:
Então, esse limite está dependendo do caminho. Repare que, para diferentes valores de , os limites serão diferentes.
Logo, não existe limite!
Resposta
Não existe limite.
Exercício Resolvido #3
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.82 – exemplo 3.11(modificado)
Seja
Calcule
Passo 1
Tentar substituir valores:
Chegamos a uma indeterminação .
Passo 2
Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:
Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:
Também não há nenhuma função trigonométrica.
E além disso, temos e somados com expoentes diferentes. Então suspeitamos que esse limite não existe.
Passo 3
Vamos substituir para igualar os expoentes dos denominadores e calcular o limite através desse caminho:
Então esse limite está dependendo do caminho.
Logo, não existe limite!
Resposta
Não existe limite.
Exercício Resolvido #4
USP P1 2011 A, questão 3b
Decida se existe
Passo 1
Então, galerinha, a gente sempre começa substituindo o valor do limite na função. Neste caso, vamos chegar numa indeterminação . Então vamos partir para aquela estratégia de chutar caminhos.
Mas calma, vamos “chutar” conscientemente, beleza? Primeiro, tentemos o mais fácil, achar o limite igual a , fazendo o numerador da fração zerar antes do denominador. No caminho escolhido temos que e , pois temos em todos os termos do numerador! Substituindo no limite, ficamos com
Viu? Só escolher o caminho pensando onde queremos chegar é sempre bom ;)
Passo 2
Agora precisamos encontrar um limite diferente de , pois se a função tiver um outro limite, significa que o limite não existe.
Vamos pensar em um caminho onde o grau do numerador e do denominador seja o mesmo, pois assim, teremos certamente encontraremos algo diferente de !
Vamos olhar para o denominador: o grau do é , e do é . Para igualar os denominadores, precisamos achar o menor múltiplo comum, no caso é
Deste modo vamos fazer
O expoente surgiu ao dividirmos pelo grau de no denominador.
Seguindo o mesmo raciocínio para , faremos
Desta forma, quando formos substituir tudo no limite, igualaremos os expoentes no denominador!
Beleza, então, partamos para o caminho :
E aí está! O limite deu ! Olha que coisa boa... como previsto, o limite não existe!
Resposta
O limite não existe, pois encontramos dois limites diferentes!
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
O limite a seguir existe? Se sim, igual a quanto?
Passo 1
Vamos lá, neste caso, como não temos senos ou cossenos na jogada, e não parece muito simples dividir nossa função em duas ou mais partes, vamos começar tentando provar que esse limite não existe, encontrando dois limites!
Como temos uma soma no denominador, podemos optar por um caminho com uma das variáveis iguais a , como , por exemplo:
Beleza! Encontramos um limite igual a !
Passo 2
Agora, temos que pensar num jeito de fazer o limite ficar diferente de . Para isso, seria uma boa deixar o grau no numerador e denominador igual, para podermos cortar. Por exemplo, no denominador, temos e . Se fizermos pelo caminho , teremos o mesmo grau:
Colocando os expoentes certinho, teremos:
Como o grau do numerador do segundo e terceiro limites é maior do que do denominador, quando cortar, sobra só o numerador, e esses limites darão . Já, para o primeiro limite, temos:
Ou seja, encontramos um outro limite, diferente de , e então o limite da função não existe!
Resposta
O limite não existe, pois encontramos dois limites diferentes