Área de Superfícies
Teoria
Introdução
Uma das várias aplicações das integrais de linha, que vamos ver agora, é o cálculo da área de algumas superfícies. A área de qualquer superfície pode ser obtida a partir de uma, pasmem, integral de superfície! Mas existe um caso específico que podemos calcular a área da superfície com uma integral de linha, são as superfícies de revolução.
Superfícies de revolução são superfícies obtidas a partir da rotação de uma curva em torno de algum eixo. Não entendeu? Vê se com esse exemplo fica mais claro! Já estamos familiarizados com a reta , ela é bem simples, né? O que acontece se rodarmos ela em torno do eixo no intervalo ? Olha o esboço como seria:
Veja que a linha preta é a nossa curva original . Simplesmente pegamos ela e rodamos em torno do eixo .
Beleza, entendi como é a superfície de rotação, mas e aí? Como calculo sua área? Fica tranquilo, tem um teorema bem simples que vai nos dar a área da superfície de rotação com uma só integral: o Teorema de Pappus
Teorema de Pappus
O Teorema de Pappus diz que, para a rotação de uma curva ao redor do eixo , a área da superfície é dada por:
E para a rotação ao redor do eixo , a área é dada por:
Onde
Temos que tomar alguns cuidados aqui:
1º) A fórmula representa a área de uma rotação completa, por isso o termo ali! Vou te mostrar um exemplo que teríamos que fazer uma modificação nessa fórmula:
Pense na rotação da curva ao redor do eixo no intervalo de . A curva e a superfície vão ser essas aqui:
Perceba que, fazendo somente metade da rotação já conseguimos gerar a superfície, né? Isso acontece porque a curva é simétrica em relação ao eixo ! Sempre que tivermos isso vamos ter que pensar em como calcular a área correta. Nesse caso, ao invés de utilizar a fórmula com , vamos simplesmente dividir por dois, afinal nós só fizemos metade da rotação! Sempre esboce suas curvas e superfícies para não calcular a área errada!
2º) Estamos tratando da integral de um módulo, temos que analisar quando o termo é positivo e quando é negativo! Vai ficar mais claro no exemplo a seguir
Exemplo
Vamos tentar calcular a área daquele exemplo lá de cima. Só para relembrar as informações, o exercício rotacionou a curva em torno do eixo no intervalo de
Passo 1: Beleza, o teorema de pappus para a rotação completa no eixo diz isso aqui:
Precisamos primeiro encontrar uma parametrização para a curva, tirar esse módulo de dentro da integral, sem seguida calcular e, por fim, juntar tudo na integral.
Passo 2: Muitas questões vão nos dar a parametrização direto, nesse caso aqui não foi assim. Uma parametrização simples é a seguinte:
Passo 3: Como fazemos pra tirar esse módulo de ai da integral? Precisamos ver quando é positivo e quando é negativo, no nosso caso:
Então precisamos dividir a nossa integral em duas:
Passo 4: Precisamos agora calcular o valor de , pra isso:
Passo 5: Vamos terminar calculando as duas integrais!
Pronto! Bem simples né, aqui vai um breve passo a passo:
Passo 1: Montar o problema, explicitando o teorema de pappus e esclarecendo o que precisa calcular
Passo 2: Obter uma parametrização para a curva.
Passo 3: Retirar o módulo da integral
Passo 4: Calcular
Passo 5: Juntar tudo na integral do teorema de pappus e resolvê-la
Tranquilo, né? Agora é só partir pra alguns exercícios pra garantir que entendemos tudo, vamos lá?
Exemplo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Calcule a área da superfície obtida pela revolução da curva em torno do eixo .
Passo 1
Rotação de uma curva em relação ao eixo , né? O enunciado nos pede a área da superfície gerada, isso é exatamente o tipo de questão pra usarmos o teorema de pappus! Como já temos a nossa superfície parametrizada, vamos aplicar direto o teorema!
É válido a gente fazer o esboço do gráfico para saber se a área é igual a rotação completa da curva, lembra? No nosso exercício a curva é assim:
E a superfície gerada é essa aqui:
Percebe que precisamos dar a volta completa dessa curva para gerar a superfície, certo? Portanto usamos a fórmula do teorema de pappus normalmente:
Usamos módulo de porque a rotação é ao redor do eixo , lembra?
Beleza, então precisamos tirar esse módulo de dentro da integral, calcular o valor de e depois resolver a integral, vamos lá?
Passo 2
Vamos tirar o módulo da integral, primeiro, para isso precisamos analisar se é positivo ou negativo no intervalo dado!
A função é sempre positiva nesse intervalo, certo? Então, para todo o intervalo:
Passo 3
Precisamos calcular o valor de , para isso, vamos derivar a parametrização da curva:
Passo 4
Voltando para a nossa integral:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule a área da superfície obtida pela revolução da curva em torno do eixo no intervalo
Passo 1
Área de superfície de revolução, sabemos que aqui precisamos usar o Teorema de Pappus! Vamos fazer um esboço da curva e da superfície pra entender melhor o enunciado:
Perceba que não precisamos rotacionar completamente a curva para obter essa superfície! Lembra daquele caso em que a curva é simétrica em relação ao eixo? Isso acontece aqui também. Então, para calcular a área correta, precisamos fazer metade da rotação só, com isso:
Precisamos parametrizar a curva, tirar o módulo da integral, calcular e depois juntar tudo, beleza?
Passo 2
Uma parametrização simples da curva é a seguinte:
Passo 3
Vamos começar analisando quando a função x é positiva e quando é negativa:
Dado o intervalo que obtivemos, , vemos que é positivo no intervalo e negativo no intervalo , portanto:
Passo 4
Precisamos agora calcular o termo , para isso vamos derivar a nossa parametrização:
Passo 5
Juntando tudo na integral:
Em ambas integrais vamos fazer a seguinte substituição:
Ficamos com:
Podemos inverter a segunda integral se mudarmos o sinal né?