Teoria

Introdução

Uma das várias aplicações das integrais de linha, que vamos ver agora, é o cálculo da área de algumas superfícies. A área de qualquer superfície pode ser obtida a partir de uma, pasmem, integral de superfície! Mas existe um caso específico que podemos calcular a área da superfície com uma integral de linha, são as superfícies de revolução.

Superfícies de revolução são superfícies obtidas a partir da rotação de uma curva em torno de algum eixo. Não entendeu? Vê se com esse exemplo fica mais claro! Já estamos familiarizados com a reta y = x , ela é bem simples, né? O que acontece se rodarmos ela em torno do eixo y no intervalo - 1 ≤ x ≤ 1 ? Olha o esboço como seria:

Veja que a linha preta é a nossa curva original y = x . Simplesmente pegamos ela e rodamos em torno do eixo y .

Beleza, entendi como é a superfície de rotação, mas e aí? Como calculo sua área? Fica tranquilo, tem um teorema bem simples que vai nos dar a área da superfície de rotação com uma só integral: o Teorema de Pappus

Teorema de Pappus

O Teorema de Pappus diz que, para a rotação de uma curva σ t = x t , y t ao redor do eixo x , a área da superfície é dada por:

Á r e a = 2 π ∫ C y d S

E para a rotação ao redor do eixo y , a área é dada por:

Á r e a = 2 π ∫ C x d S

Onde d S = σ ' t d t

Temos que tomar alguns cuidados aqui:

1º) A fórmula representa a área de uma rotação completa, por isso o termo 2 π ali! Vou te mostrar um exemplo que teríamos que fazer uma modificação nessa fórmula:

Pense na rotação da curva y = x 2 ao redor do eixo y no intervalo de - 1 ≤ x ≤ 1 . A curva e a superfície vão ser essas aqui:

Perceba que, fazendo somente metade da rotação já conseguimos gerar a superfície, né? Isso acontece porque a curva é simétrica em relação ao eixo y ! Sempre que tivermos isso vamos ter que pensar em como calcular a área correta. Nesse caso, ao invés de utilizar a fórmula com 2 π , vamos simplesmente dividir por dois, afinal nós só fizemos metade da rotação! Sempre esboce suas curvas e superfícies para não calcular a área errada!

) Estamos tratando da integral de um módulo, temos que analisar quando o termo é positivo e quando é negativo! Vai ficar mais claro no exemplo a seguir

Exemplo

Vamos tentar calcular a área daquele exemplo lá de cima. Só para relembrar as informações, o exercício rotacionou a curva y = x em torno do eixo y no intervalo de - 1 ≤ x ≤ 1

Passo 1: Beleza, o teorema de pappus para a rotação completa no eixo y diz isso aqui:

Á r e a = 2 π ∫ C x d S

Precisamos primeiro encontrar uma parametrização para a curva, tirar esse módulo de dentro da integral, sem seguida calcular σ ' t e, por fim, juntar tudo na integral.

Passo 2: Muitas questões vão nos dar a parametrização direto, nesse caso aqui não foi assim. Uma parametrização simples é a seguinte:

x t = t

y = x → y t = t

σ t = ( t , t )

- 1 ≤ t ≤ 1

Passo 3: Como fazemos pra tirar esse módulo de x ai da integral? Precisamos ver quando x é positivo e quando é negativo, no nosso caso:

x ( t ) = t

x t = - t s e - 1 ≤ t < 0 t s e   0 ≤ t ≤ 1

Então precisamos dividir a nossa integral em duas:

Á r e a = 2 π ∫ 0 1 t d S - 2 π ∫ - 1 0 t d S

Passo 4: Precisamos agora calcular o valor de σ ' t , pra isso:

σ t = t , t

σ ' t = 1,1

σ ' t = 1 2 + 1 2 = 2

Passo 5: Vamos terminar calculando as duas integrais!

Á r e a = 2 π ∫ 0 1 t 2 d t - 2 π ∫ - 1 0 t 2 d t

= 2 π 2 t 2 2 t = 0 t = 1 - 2 π 2 t 2 2 t = - 1 t = 0

= 2 π 2 2 - 0 - 2 π 0 - 2 2 = 2 π 2 2 + 2 π 2 2 = 2 π 2

Á r e a = 2 π 2

Pronto! Bem simples né, aqui vai um breve passo a passo:

Passo 1: Montar o problema, explicitando o teorema de pappus e esclarecendo o que precisa calcular

Passo 2: Obter uma parametrização para a curva.

Passo 3: Retirar o módulo da integral

Passo 4: Calcular σ ' t

Passo 5: Juntar tudo na integral do teorema de pappus e resolvê-la

Tranquilo, né? Agora é só partir pra alguns exercícios pra garantir que entendemos tudo, vamos lá?

Exemplo

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