Teorema da Divergência no Plano
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Introdução
Quando vimos o teorema de Green, vimos que, quando tinhamos uma integral de linha vetorial complicada podiamos fazer:
Que em geral simplificava bastante as coisas, né?
Agora vamos ver algo muito parecido, só que para o fluxo. Como tinhamos visto, o fluxo pode ser representado pela integral:
Com a segunda notação, podemos manipular um pouquinho para chegarmos em:
Ou seja, basicamente, é “como se fosse” integral vetorial com um novo campo , perpendicular ao campo original .
E, usando esse modo de pensar no fluxo, podemos aplicar o teorema de Green:
A essa aplicação chamamos de Teorema da Divergência, e vamos só fazer a definição formal dele pra você ter tudo bem claro.
Definição do Teorema
Para uma curva fechada e simples, orientada positivamente, delimitando uma região , tal que , o fluxo de um campo , definido sobre toda a região é dado por:
Com isso, assim como o teorema de Green podia simplificar o cálculo de trabalho que eram complicados de achar pela definição, o Teorema da divergência faz a mesma coisa, saimos de uma integral de linha complicada para calcularmos uma integral dupla possivelmente mais simples.
Beleza, como fazer as questões quando ele pedir o fluxo? Vamos ver um exemplo disso!
Exemplo
Encontre o fluxo do campo
Através do triângulo de vértices , e , orientado no sentido anti-horário.
Passo 1: Montar o problema
Parece chato calcular cada uma das integrais sobre cada uma das retas pela definição, então vamos procurar ajuda no teorema da divergencia:
Passo 2: Calcular o divergente
O divergente pode ser encontrado por:
O que é bem simples, então deve valer a pena usar o teorema sim, vamos ver como que fica na fórmula!
Passo 3: Calcular a integral dupla
A gente tinha:
Que nesse caso é muito simples, pois temos um triângulo de base e altura , então:
E pra ter o passo-a-passo resumido na cabeça, vamos anotar:
Passo 1: Montar o problema
Passo 2: Calcular o divergente
Passo 3: Calcular a integral dupla
Vamos ver como que fica na prática agora? Então vamos aos exercícios!