Teorema da Divergência no Plano
Teoria
Introdução
Quando vimos o teorema de Green, vimos que, quando tinhamos uma integral de linha vetorial complicada podiamos fazer:
Que em geral simplificava bastante as coisas, né?
Agora vamos ver algo muito parecido, só que para o fluxo. Como tinhamos visto, o fluxo pode ser representado pela integral:
Com a segunda notação, podemos manipular um pouquinho para chegarmos em:
Ou seja, basicamente, é “como se fosse” integral vetorial com um novo campo , perpendicular ao campo original .
E, usando esse modo de pensar no fluxo, podemos aplicar o teorema de Green:
A essa aplicação chamamos de Teorema da Divergência, e vamos só fazer a definição formal dele pra você ter tudo bem claro.
Definição do Teorema
Para uma curva fechada e simples, orientada positivamente, delimitando uma região , tal que , o fluxo de um campo , definido sobre toda a região é dado por:
Com isso, assim como o teorema de Green podia simplificar o cálculo de trabalho que eram complicados de achar pela definição, o Teorema da divergência faz a mesma coisa, saimos de uma integral de linha complicada para calcularmos uma integral dupla possivelmente mais simples.
Beleza, como fazer as questões quando ele pedir o fluxo? Vamos ver um exemplo disso!
Exemplo
Encontre o fluxo do campo
Através do triângulo de vértices , e , orientado no sentido anti-horário.
Passo 1: Montar o problema
Parece chato calcular cada uma das integrais sobre cada uma das retas pela definição, então vamos procurar ajuda no teorema da divergencia:
Passo 2: Calcular o divergente
O divergente pode ser encontrado por:
O que é bem simples, então deve valer a pena usar o teorema sim, vamos ver como que fica na fórmula!
Passo 3: Calcular a integral dupla
A gente tinha:
Que nesse caso é muito simples, pois temos um triângulo de base e altura , então:
E pra ter o passo-a-passo resumido na cabeça, vamos anotar:
Passo 1: Montar o problema
Passo 2: Calcular o divergente
Passo 3: Calcular a integral dupla
Vamos ver como que fica na prática agora? Então vamos aos exercícios!
Definição do Teorema
Exemplo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2002, pp. 202-1b.
Calcule
Sendo dados: , a fronteira do quadrado de vértices , , e e a normal que aponta para fora do quadrado, sendo orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
A gente sabe que o que ele pede é o fluxo e, nesse caso, nem seria tão complicado tentar fazer pela definição, mas seriam quatro curvas e muitas contas, né?
Por sorte, temos o teorema da divergência no plano para nos ajudar.
Vamos lembrar o que vimos na teoria. O teorema nos diz, basicamente que:
Ou seja, saimos de um integral de linha de fluxo para calcularmos uma integral dupla. Vamos ver se vale a pena mesmo!
Passo 2
O campo que a questão deu é escrito por:
Então, calculando o termo dentro da integral dupla, vamos ter que:
O que é muito simples e nos ajuda muito no cálculo. Vamos ver como que vai ficar, então!
Passo 3
É só jogar na integral dupla:
O nosso domínio é bem tranquilo, um quadrado de lado , então temos que a área do quadrado é:
Ou seja:
Resposta
Exercício Resolvido #2
George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 504-13.
Encontre o fluxo exterior do campo
Através da cardióide
Passo 1
Eita, essa parece uma integral bem difícil de fazer pela definição...
Mas a gente viu na teoria que tem outra forma de resolver essa questão: o teorema da divergência!
Vamos lembrar o que ele diz:
Ou seja, saimos de um integral de linha de fluxo para calcularmos uma integral dupla.
Com sorte, vamos ter algo mais possível de calcular, vamos ver como que vai ficar!
Passo 2
O campo que a questão deu é escrito por:
Então, calculando o termo dentro da integral dupla, vamos ter que:
É, com certeza é algo muito mais simples do que tinhamos antes, né?
Mas calma que ainda vamos ter que ver como que isso fica na integral.
Passo 3
Vamos ter:
A região parece meio estranha, mas a curva sugere coordenadas polares, então vamos tentar:
O domínio fica:
Então:
Que é viável de calcular, vamos tentar!
Passo 4
Falta só resolver a integral:
Que a gente resolve com a substituição:
Então:
Usando os limites de integração que tinhamos antes:
Tudo isso pra chegarmos em , não acredito... haha
Mas o que importa é que conseguimos resolver a questão!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2002, pp. 204-10.
Seja
E seja
Seja a área do conjunto limitado pelo eixo e pela curva . Calcule
Onde é a normal a que aponta para fora do conjunto acima mencionado.
Passo 1
A integral dada é bem similar a uma integral de linha de fluxo (com exceção de que a curva dada não é fechada), mas parece bem difícil de calcular pela definição.
Podemos pensar então em usar o teorema da divergência:
Mas precisamos lembrar que uma das condições do teorema é que a curva seja a fronteira da região , isto é, a curva precisa ser fechada. Vamos ver como podemos contornar isso!
Passo 2
A curva dada na questão não é fechada. Na verdade, podemos ver que ela começa no ponto:
E termina no ponto:
Então, pra começar, temos que criar uma curva que ligue esses dois pontos. Pode ser a reta:
E assim, vamos ter que , uma curva fechada. Só tem que toma cuidado que a curva está orientada no sentido horário, negativa!
Vamos fazer então que: e aplicar o teorema!
Passo 3
Vamos ter:
E desenvolvemos mais um pouco:
Agora só precisamos calcular a integral dupla do teorema e a integral de linha sobre , que é uma reta, então vai ser bem mais simples que a integral de . Mas vamos lá!
Passo 4
Vamos começar com a integral dupla:
Que é dado na questão como , então:
Uma parte já foi, vamos à próxima!
Passo 5
Agora vamos tentar a integral de linha:
O vetor normal é dado por:
Então jogamos na integral:
Opa, isso nos poupa bastante trabalho!
Passo 6
Agora é só somar:
E pronto, tudo resolvido!