Teoria

Introdução

Quando vimos o teorema de Green, vimos que, quando tinhamos uma integral de linha vetorial complicada podiamos fazer:

∫ ∂ D F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Que em geral simplificava bastante as coisas, né?

Agora vamos ver algo muito parecido, só que para o fluxo. Como tinhamos visto, o fluxo pode ser representado pela integral:

ϕ f l u x o = ∫ C F → ∙ n →   d t = ∫ C F 1 d y - F 2 d x

Com a segunda notação, podemos manipular um pouquinho para chegarmos em:

∫ C F 1 d y - F 2 d x = ∫ C ( - F 2 ) d x + F 1 d y

Ou seja, basicamente, é “como se fosse” integral vetorial com um novo campo F → f l u x o = - F 2 , F 1 , perpendicular ao campo original F → = F 1 , F 2 .

E, usando esse modo de pensar no fluxo, podemos aplicar o teorema de Green:

∫ ∂ D ( - F 2 ) d x + F 1 d y = ∬ D ∂ F 1 ∂ x - ∂ - F 2 ∂ y d x d y = ∬ D ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y d x d y

A essa aplicação chamamos de Teorema da Divergência, e vamos só fazer a definição formal dele pra você ter tudo bem claro.

Definição do Teorema

Para uma curva C fechada e simples, orientada positivamente, delimitando uma região D , tal que C = ∂ D , o fluxo de um campo F → = ( F 1 , F 2 ) , definido sobre toda a região D é dado por:

ϕ f l u x o = ∫ C F → ∙ n →   d t = ∬ D ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y d x d y = ∬ D div ⁡ F → d x d y

Com isso, assim como o teorema de Green podia simplificar o cálculo de trabalho que eram complicados de achar pela definição, o Teorema da divergência faz a mesma coisa, saimos de uma integral de linha complicada para calcularmos uma integral dupla possivelmente mais simples.

Beleza, como fazer as questões quando ele pedir o fluxo? Vamos ver um exemplo disso!

Exemplo

Encontre o fluxo do campo

F → = x + e x sin ⁡ y i → + x + e x cos ⁡ y j →

Através do triângulo de vértices ( 1,0 ) , ( 0,1 ) e ( - 1,0 ) , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1: Montar o problema

Parece chato calcular cada uma das integrais sobre cada uma das retas pela definição, então vamos procurar ajuda no teorema da divergencia:

ϕ f l u x o = ∬ D div ⁡ F → d x d y

Passo 2: Calcular o divergente

O divergente pode ser encontrado por:

d i v = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y = ∂ x + e x sin ⁡ y ∂ x + ∂ x + e x cos ⁡ y ∂ y = 1 + e x sin ⁡ y + e x - sin ⁡ y = 1

O que é bem simples, então deve valer a pena usar o teorema sim, vamos ver como que fica na fórmula!

Passo 3: Calcular a integral dupla

A gente tinha:

ϕ f l u x o = ∬ D div ⁡ F → d x d y = ∬ D 1 d x d y = Á r e a ( D )

Que nesse caso é muito simples, pois temos um triângulo de base 2 e altura 1 , então:

ϕ f l u x o = Á r e a D = 2 ∙ 1 2 = 1

E pra ter o passo-a-passo resumido na cabeça, vamos anotar:

Passo 1: Montar o problema

Passo 2: Calcular o divergente

Passo 3: Calcular a integral dupla

Vamos ver como que fica na prática agora? Então vamos aos exercícios!

Definição do Teorema

Exemplo

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