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Centro de Massa e Momento de Inércia

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Teoria

Centro de Massa

Podemos ter várias motivações mecânicas para a utilização do conceito do centro de massa de um corpo, mas como aqui estamos estudando Cálculo, e não Física, vamos focar no cálculo para encontrar esse centro de massa. Como estamos estudando Integrais de Linha, iremos nos limitar ao cálculo do centro de massa para arames, hastes e fios finos, como tínhamos feito para a massa.

Pra você não ficar sem o conceito, o centro de massa é um ponto. Esse ponto é o ponto médio de distribuição de massa, entendeu nada né? Ele é o ponto onde podemos concentrar a massa do arame e considerá-lo uma bolinha onde o tamanho não importa.

O que queremos encontrar são as coordenadas x , y e z do centro de massa, normalmente representados em três dimensões por ( x - ,   y - ,   z - ) ou em duas por x - , y - .

Nesse ponto, temos a média ponderada da distribuição de massa ao longo da curva. Tomando o exemplo a coordenada x - , cada “pedaço” contribui com sua posição x i e sua massa m i . De forma que o centro de massa vai ser dado pela soma disso tudo, dividido pela massa total:

x - = ∑ i = 1 n x i ∙ m i M

Fazendo n → ∞ , vamos levar esse somatório para uma integral na nossa curva:

x - = ∫ C x   d m M

Meio estranho? Acho que o conceito é um pouco sim, mas os cálculos são relativamente simples, então vamos logo ao que importa.

Definição

Como vimos na teoria de Integral de linha de escalar, d m de um fio pode ser substituído por:

d m = δ x , y , z d s

E que a massa total M , como integral da função densidade, pode ser obtida por

M = ∫ C δ x , y , z d s

Então usando a fórmula que escrevemos lá em cima:

x - = ∫ C x   d m M = ∫ C x   δ x , y , z d s ∫ C δ x , y , z d s

Da mesma forma:

y - = ∫ C y   d m M = ∫ C y   δ x , y , z d s ∫ C δ x , y , z d s

E

z - = ∫ C z   d m M = ∫ C z   δ x , y , z d s ∫ C δ x , y , z d s

Então, quando a questão pede o centro de massa, só obtemos a resposta quando encontramos o ponto ( x - ,   y - , z - ) , ou seja, precisamos calcular 4 integrais de linha! (1 para a massa total e mais 3, uma para cada coordenada.)

Vamos ver um exemplo:

Exemplo

Calcule o centro de massa do fio γ t = t , t , 0 ≤ t ≤ 1 , com densidade linear δ x , y = x y .

Passo 1: Montar o problema

Aqui vamos lembrar que o que queremos calcular é x - e y - , dados por:

x - = ∫ C x   δ x , y d s M

y - = ∫ C y   δ x , y d s M

E que a massa pode ser calculada pela integral de linha:

M = ∫ C δ x , y d s

Onde δ ( x , y ) = x y .

Passo 2: Encontrar σ → ' t

Para isso, vamos fazer:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 = 1 + 1 = 2

Passo 3: Calcular a massa

Vamos escrever nossa densidade em termos de t

x y → t 2

Jogando naquela integral que tínhamos lá em cima:

M = ∫ 0 1 t ∙ t ∙ 2 d t = 2 t 3 3 0 1 = 2 3

Passo 4: Calcular x -

O que tínhamos era:

x - = ∫ C x   δ x , y d s M

Mas já temos a massa, então vamos calcular a integral do numerador:

∫ C x   δ x , y d s = ∫ 0 1 t ∙ t 2 ∙ σ → ' t d t = 2 ∙ t 4 4 0 1 = 2 4

Então, o que vamos ter é:

x - = ∫ C x   δ x , y d s M = 2 4 ∙ 3 2 = 3 4

Passo 5: Calcular y -

Queremos calcular:

y - = ∫ C y   δ x , y d s M

Mas, por acaso, as contas vão ser bem parecidas, porque:

∫ C y   δ x , y d s = ∫ 0 1 t ∙ t 2 ∙ σ → ' t d t = 2 ∙ t 4 4 0 1 = 2 4

E, então:

y - = ∫ C y   δ x , y d s M = 2 4 ∙ 3 2 = 3 4

Ou seja, resumindo o passo-a-passo, vamos ter:

Passo 1: Montar o problema

Passo 2: Encontrar σ → ' t

Passo 3: Calcular a massa

Passo 4: Calcular x -

Passo 5: Calcular y -

Momento de Inércia

O conceito de momento de inércia de um corpo está ligado ao movimento de rotação. Ele representa a dificuldade de um corpo girar em relação a uma reta.

Por isso, não falamos em momento de inércia sem dar um complemento. É sempre “o momento de inércia em relação a uma reta L ” ( L é um exemplo genérico, mas pode ser em relação ao eixo x , y etc.).

A distribuição, então, está relacionada ao quadrado da distância r de cada ponto, de elemento infinitesimal de massa d m , a essa reta L . Se somarmos cada um desses valores ao longo de uma curva ficamos com a fórmula geral:

I L = ∫ C r 2 d m

Lembrando que, utilizando essa definição com integral de linha, estamos nos limitando ao cálculo de figuras que podem ser modeladas por curvas, como arames, fios e hastes finas, e que para esse tipo de corpo, podemos escrever d m = δ x , y , z d s .

Com isso, só precisamos definir a reta L e ver como que fica a distância r , então vamos analizar os casos principais.

Para cada reta que os exercícios pedirem, voce terá uma reta L diferente e, consequentemente, uma distância r diferente. Mas, por sorte, os eixos de rotação mais pedidos são os eixos coordenados x , y e z , que são “fixos”. Os eixos não mudam de um problema para outro, né?

Mas como que fica r , então?

Bem, vamos pegar o exemplo do momento de inércia em relação ao eixo z .

Se pegarmos o plano x y , ou qualquer plano com z constante, temos que o eixo z passa pela origem 0,0 , então a distância até a origem pode ser dada, pelo teorema Pitágoras, por x 2 + y 2 , concorda?

Jogando na fórmula que definimos lá em cima:

I z = ∫ C r 2 d m = ∫ C x 2 + y 2 δ x ,   y ,   z d s

Posso te convencer que o mesmo raciocínio pode ser aplicado para os eixos x e y , então? Acho que sim, né? Haha

Então, temos também:

I x = ∫ C r 2 d m = ∫ C y 2 + z 2 δ x ,   y ,   z d s

E

I y = ∫ C r 2 d m = ∫ C x 2 + z 2 δ x ,   y ,   z d s

Muita integral, não é? Então é bom que estejamos craques nessas integrais, vamos lá fazer uns exercícios?

Momento de Inércia

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo Volume II,11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp. 549-46.

Encontre a massa e o centro de massa de um fio com densidade constante δ que está ao longo da hélice r t = 2 sen ⁡ t i + ( 2 cos ⁡ t ) j + 3 t k , 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Como ele quer o centro de massa, devemos fazer

M = ∫ c δ x , y , z d s

x - = ∫ C x δ x , y , z d s M

y - =   ∫ C y δ x , y , z d s M

z - = ∫ C z δ x , y , z d s M

Onde δ x , y , z = δ

Passo 2

Agora precisamos achar σ → ' t . As derivadas são

d x d t = 2 cos ⁡ t ,   d y d t = - 2 sen ⁡ t ,   d z d t = 3

Então pela fórmula:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 = 2 cos ⁡ t 2 + - 2 sen ⁡ t 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13

Um valor meio feio, mas constante, então tá bom, né? haha

Passo 3

A massa, então, vai ser dada por:

M = ∫ 0 2 π δ   .   13   d t =   13 δ   t 0 2 π = 13 δ 2 π - 0 = 2 π 13 δ

Podia ser pior, eu acho...

Mas, não acaba aqui, pois ele pede a centro de massa também, então vamos pro próximo passo.

Passo 4

Vamos começar com a coordenada em x :

∫ C x δ x , y , z d s =   ∫ 0 2 π x t δ x , y , z σ → ' t d t

A gente já viu como fica parametrização do x , que é 2 sen ⁡ t ; a densidade é constante e vale δ . Vimos também que o módulo do vetor tangente σ → ' t é igual a 13 . Então, é só substituir e partir pro abraço:

∫ 0 2 π x t δ x , y , z σ → ' t d t = ∫ 0 2 π 2 sen ⁡ ( t ) δ   13   d t = 2 13 δ ( - cos ⁡ t ) 0 2 π = 0

Agora sim, bem simples! A nossa cordenada em x fica   x - = 0 M = 0 .

Vamos torcer pra que as outras sejam algo simples assim também.

Passo 5

A integral da coordenada em y :

∫ C y δ x , y , z d s =   ∫ 0 2 π y t δ x , y , z σ → ' t d t

Como no passo anterior, vamos substituir os valores: a parametrização de y , ( 2 cos ⁡ t ) ; a densidade constante δ ; e o módulo do vetor tangente, 13 .

∫ 0 2 π y t δ x , y , z σ → ' t d t = ∫ 0 2 π 2 cos ⁡ t δ   13   d t = 2 13 δ ( sen ⁡ t ) 0 2 π = 0

Então, nossa cordenada em y fica   y - = 0 M = 0 também.

Oh, to falando que tá ficando parecido! Mas não vamos arriscar e vamos calcular a próxima que vai que questão tem que ter uma pegadinha, né?

Passo 6

Por último, vamos calcular a integral da coordenada em z :

∫ C z δ x , y , z d s =   ∫ 0 2 π z t δ x , y , z σ → ' t d t

Vamos pegar os valores de novo pra substituir, mas fica ligado que a parametrização do z é um pouco diferente, ( 3 t ) ; o valor da densidade continua o mesmo, δ ; e o módulo do vetor tangente também, 13 , nenhuma surpresa. Então:

∫ 0 2 π z t δ x , y , z σ → ' t d t = ∫ 0 2 π 3 t δ   13   d t = 3 13 δ   t 2 2 0 2 π = 6 π 2 13 δ

É, nada muito simpático, mas vamos lembrar a fórmula de   z - :

∫ C z δ x , y , z d s M = 6 π 2 13 δ 2 π 13 δ = 3 π

Agora sim, um valor mais agradável!

Bem, foram muitas integrais, mas seguindo o passo-a-passo deu pra organizar tudo e não se perder, pra conseguirmos chegar na resposta.

Resposta

M =   2 π 13 δ

x - = 0   ;   y - = 0   ; z - = 3 π

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp. 549-44.

Um arco de metal delgado está ao longo da semicircunferência y = a 2 - x 2 no plano x y . A densidade no ponto ( x ,   y ) sobre o arco é δ x , y = 2 a - y .   Encontre o centro de massa.

Passo 1

Quando ele pede o centro de massa, na verdade ele pede os valores das coordenadas x - e y - .

Então, como vimos, encontramos pelas integrais de linha:

x - = ∫ C x δ x , y d s M

y - =   ∫ C y δ x , y d s M

Onde a massa M , nós calculamos também por uma integral de linha:

M = ∫ C δ x ,   y d s

No enunciado, ele já dá a densidade δ x , y = 2 a - y , então, pra começar, vamos parametrizar a curva.

Passo 2

Temos a equação cartesiana da curva, que, se desenvolvermos mais um pouco, fica:

y = a 2 - x 2 →   y 2 =   a 2 - x 2 → x 2 + y 2 = a 2

Que seria a equação da circunferência de raio a , certo?

Mas cuidado! Como ele diz no enunciado, a curva C é uma semicircunferência e, na verdade, só estamos interessados na parte y ≥ 0 .

A parametrização, então, é dada por σ → = ( a cos ⁡ t ,   a sen ⁡ t ) , com 0 ≤ t ≤ π , lembrando que são apenas os valores de y não negativos.

Passo 3

Agora, podemos calcular ‖ σ → ' t ‖

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 = a 2 sen 2 ⁡ t + a 2 cos 2 ⁡ t = a

Pelo menos um valor simples, né? Mas agora respira fundo que são 3 integrais pra calcular!

Passo 4

Vamos começar com a massa:

M =   ∫ 0 π δ x t , y t σ → ' t d t

Pra lembrar, já temos a densidade, que aplicando a parametrização fica δ = 2 a - a sen ⁡ t ; e o módulo do vetor tangente vale a . Então, substituindo:

∫ 0 π δ x t , y t σ → ' t d t =   ∫ 0 π 2 a - a sen ⁡ t a   d t

= a 2 ∫ 0 π 2 - sen ⁡ t d t = a 2 2 t 0 π + cos ⁡ t 0 π = a 2 ( 2 π - 2 )

Agora sim podemos calcular as coordenadas do centro de massa.

Passo 5

Primeiro vamos achar a coordenada x - :

x - = ∫ C x δ x , y d s   M

Já temos a massa M . Então, vamos calcular a integral de cima separado:

∫ C x δ x , y d s =   ∫ 0 π x t δ x ( t ) , y ( t ) σ → ' t d t

De novo, lembramos que já temos a parametrização de x , que é ( a cos ⁡ t ) ; a densidade, que com as variáveis parametrizadas fica δ = 2 a - a sen ⁡ t ; e o módulo do vetor tangente vale a .

Jogando tudo na fórmula, temos:

∫ 0 π x t δ x t , y t σ → ' t d t = ∫ 0 π a cos ⁡ t 2 a - a sen ⁡ t a   d t

=   a 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t d t = a 3 ( 2 sen ⁡ t 0 π - cos ⁡ 2 t 2 0 π ) = 0

Tudo isso pra chegarmos em 0 ?? Bem, pelo menos é o valor mais simples possível, então não vamos reclamar. haha

Nossa coordenada: x - = 0 M = 0 .

Passo 6

Pra finalizar, vamos calcular a coordenada y - , dada por:

y - = ∫ C y δ x , y d s   M

E, de novo, vamos calcular a integral separada pra ficar organizado:

∫ C y δ x , y d s =   ∫ 0 π y t δ x ( t ) , y ( t ) σ → ' t d t

Mais uma vez, vamos usar: a parametrização de y , que usamos ( a sen ⁡ t ) ; a densidade, δ = 2 a - a sen ⁡ t ; e o módulo do vetor tangente vale a . Vamos substituir, para ter:

∫ 0 π x t δ x t , y t σ → ' t d t = ∫ 0 π a sen ⁡ t 2 a - a sen ⁡ t a   d t

= a 3 ∫ 0 π ( 2 sen ⁡ t - sen 2 ⁡ t ) d t = a 3 - 2 cos ⁡ t 0 π - t 2 - sen ⁡ 2 t 4 t = 0 t = π = a 3 ( 4 - π 2 )

É, com esse não tivemos tanta sorte...

Mas então, pra fechar, finalmente:

y - = a 3 4 - π 2 a 2 2 π - 2 = a 4 - π 2 2 π - 2

Nada simpático, mas terminamos!

Resposta

x - = 0   ; y - =   a 4 - π 2 2 π - 2

Exercício Resolvido #3

UFF - Cálculo IIIA - Lista 3, GMA 2015.2 – 10

Um arame tem a força de uma curva obtida como interseção da semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 , x ≥ 0 , com o plano y + z = 4 . Sabendo que a densidade em cada ponto x , y , z é dada por ρ x , y , z = x , mostre que o momento de inércia em relação ao eixo x é igual a 32 M 3 , onde M é a massa do arame.

Passo 1

Ele quer o momento de inércia em relação ao eixo x , mas repara que ele compara com a massa, então o que vamos ter que calcular é:

I x = ∫ C r 2 δ   d s = ∫ C y 2 + z 2 ρ   d s

E a massa:

M = ∫ C ρ   d s

Temos integrais de linha, então precisamos achar uma parametrização para aplicar na fórmula

Passo 2

Temos que achar a curva que queremos parametrizar, vamos achar a projeção da interseção da esfera com o plano

x 2 + y 2 + 4 - y 2 = 16

x 2 + y 2 + 16 - 8 y + y 2 = 16

x 2 + 2 y 2 - 8 y = 0

Completando o quadrado

x 2 + 2 y 2 - 8 y + 8 = 8

x 2 + 2 y 2 - 4 y + 4 = 8

x 2 + 2 y - 2 2 = 8

x 2 8 + 2 y - 2 2 8 = 1

x 2 8 + y - 2 2 4 = 1

Isso é uma elipse, então

x t = 8 cos ⁡ t = 2 2 cos ⁡ t

y t = 2 + 2 sen ⁡ t

Mas a nossa curva está no espaço né? Falta a parametrização do z ,

Lembra que

z = 4 - y

Então

z t = 4 - 2 - 2 sen ⁡ t

z t = 2 - 2 sen ⁡ t

Como ele quer x ≥ 0 vamos ter

2 2 cos ⁡ t ≥ 0

cos ⁡ t ≥ 0

Isso faz com que

t ∈ - π 2 , π 2

A parametrização vai ser

σ t → = 2 2 cos ⁡ t , 2 + 2 sen ⁡ t , 2 - 2 sen ⁡ t

Onde t ∈ - π 2 , π 2

Passo 3

Vamos calcular σ t → '

σ t → ' = - 2 2 sen ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2 + - 2 cos ⁡ t 2 = 8 sen 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t

⇒ 8 sen 2 ⁡ t + 8 cos 2 ⁡ t = 8 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 8 = 2 2

Passo 4

Vamos ver como a densidade fica em função de t :

ρ x , y , z = x → 2 2 cos ⁡ t

Substituindo na integral da massa:

M = ∫ C ρ   d s =

∫ - π / 2 π / 2 2 2 cos ⁡ t . 2 2 d t = ∫ - π / 2 π / 2 8 cos ⁡ t d t

⇒ 8 sen ⁡ t - π 2 π 2 = 8 sen ⁡ π 2 - 8 sen ⁡ - π 2

⇒ 8 - - 8 = 16

Então

M = 16

Passo 5

Vamos agora ao momento de inércia:

I x = ∫ C y 2 + z 2 ρ d s

Usando a mesma parametrização de antes vamos resolver essa integral, o que vai mudar é o cara dentro da integral, então vamos ter

I x = ∫ - π / 2 π / 2 2 + 2 sen ⁡ t 2 + 2 - 2 sen ⁡ t 2 2 2 cos ⁡ t . 2 2 d t

⇒ ∫ - π / 2 π / 2 4 + 8 sen ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t + 4 - 8 sen ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t 2 2 cos ⁡ t . 2 2 d t

⇒ ∫ - π / 2 π / 2 8 + 8 sen 2 ⁡ t 8 cos ⁡ t d t

⇒ 64 ∫ - π / 2 π / 2 1 + sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Vamos resolver essa integral separado

Temos que fazer

∫ 1 + sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Vamos fazer a substituição

sen ⁡ t = u

Isso porque

d u = cos ⁡ t d t

E a integral vai ficar

∫ 1 + sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t = ∫ 1 + u 2 d u

E vamos ter

∫ 1 + u 2 d u = u + u 3 3

Voltando para t

u + u 3 3 = sen ⁡ t + sen 3 ⁡ t 3

Passo 6

Voltando para a integral no final do passo 6

64 ∫ - π / 2 π / 2 1 + sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Vamos ter

⇒ 64 sen ⁡ t + sen 3 ⁡ t 3 t = - π 2 π 2 = 64 sen ⁡ π 2 + sen 3 ⁡ π 2 3 - sen ⁡ - π 2 + sen 3 ⁡ - π 2 3

⇒ 64 1 + 1 3 - - 1 + - 1 3 3

⇒ 64 4 3 - - 1 - 1 3

⇒ 64 4 3 - - 4 3

⇒ 64 8 3

⇒ 512 3

Então

I x = 512 3

Passo 7

Mas como

M = 16

Vamos ter

I M = 512 / 3 16 = 512 3 ∙ 1 16 = 32 3

Logo

I = 32 3 M

Como ele queria demostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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