Integral de Superfície - Campo Escalar
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Fala aí, nós somos o Responde Aí, a maior plataforma de exatas do Brasil e estamos aqui pra salvar o seu semestre hahaha
Hoje vamos bater um papo sobre as integrais de superfície em um campo escalar, preparado? Então bora!!
Conhecimentos Prévios
Bom, antes de você embarcar nessa aventura das integrais de superfície de um campo escalar é interessante você já ter alguns conhecimentos adquiridos. Eu vou deixar eles aqui embaixo listados👇🏾
✅ Parametrização de superfícies - caso explícito
O que é Integral de Superfície?
Uma integral de superfície segue um princípio semelhante ao das integrais duplas. Nas integrais duplas nós pegamos uma função
No caso das integrais de superfície nós não teremos uma função
Representamos uma integral de superfície do seguinte modo:

Onde
Como calcular uma Integral de Superfície?
Para calcular uma integral dupla nós vamos usar a seguinte fórmula:

Entendeu nada, né? hahaha. Calma, vamos devagar.
Primeiro vamos entender o que é cada coisa na fómula:
Ainda está meio confuso, não é? Vamos de exemplo para enterder melhor, ok?
Exemplo
Considere a susperfície

Vamos ir montando juntos um passo a passo para resolução desse problema.
PASSO 1: Parametrizar a superfície
Como a superfície está na sua forma explícita, vamos parametrizá-la como:

PASSO 2: Achar o domínio de
Para achar o domínio

PASSO 3: Calcular as derivadas parciais da função em relação a

PASSO 4: Escrever a função em termos das variaveis de parametrização.
Nesse caso, como a nossa parametrização foi explícita e as variáveis de parametrização continuam sendo

Mas fica atento, porque se a parametrização não for explícita a função muda um pouco quando a escrevemos em termos das variáveis de parametização, beleza?
PASSO 5: Montar a integral.
Vamos pegar a fórmula:

Reescrever em termos de

Agora vamos substituir tudo que encontramos até o momento:


Onde
E agora vamos resolver a integral como resolveríamos uma integral dupla. Nesse caso seria legal usar uma mudança polar (fica a dica 😉).
E é isso que temos para falar pra você sobre as integrais de superfície em um campo escalar. Você pode avançar nos seus estudos e ir entender as integrais de superície em um campo vetorial, conferindo essa nossa página aqui: Integrais de superfície - caso vetorial.
Mas, caso você ainda não esteja seguro para avançar, você pode assistir o vídeo que eu vou deixar aqui em embaixo 👇🏾 sobre integrais de superfície em campo escalar para fixar ainda mais esse conteúdo.
Vídeo
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