Teoria

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Hoje vamos bater um papo sobre as integrais de superfície em um campo escalar, preparado? Então bora!!

Conhecimentos Prévios

Bom, antes de você embarcar nessa aventura das integrais de superfície de um campo escalar é interessante você já ter alguns conhecimentos adquiridos. Eu vou deixar eles aqui embaixo listados👇🏾

Produto Vetorial

Parametrização de superfícies - caso explícito

Parametrização de superfícies - caso avançado

Integrais Duplas

O que é Integral de Superfície?

Uma integral de superfície segue um princípio semelhante ao das integrais duplas. Nas integrais duplas nós pegamos uma função e integramos ela em um interval de e em um intervalo de . No caso das integrais de superfície nós vamos estar interessados em pegar uma função e integrar ela em uma superfície no plano e não mais em um intervalo, sacou?

No caso das integrais de superfície nós não teremos uma função de duas variáveis, teremos uma função , ou seja, uma função de variáveis.

Representamos uma integral de superfície do seguinte modo:

Onde é a superfície sobre a qual vamos integrar e é o elemento infinitesimal, assim como temos o na integral dupla.

Como calcular uma Integral de Superfície?

Para calcular uma integral dupla nós vamos usar a seguinte fórmula:

Entendeu nada, né? hahaha. Calma, vamos devagar.

Primeiro vamos entender o que é cada coisa na fómula: é a parametrização da superfície; e são as variáveis que aparecem na parametrização, é a função integrando escrita nas variáveis da parametrização e é o domínio de .

Ainda está meio confuso, não é? Vamos de exemplo para enterder melhor, ok?

Exemplo

Considere a susperfície do parabolóide contida no interior do cilindro e a função . Calcule:

Vamos ir montando juntos um passo a passo para resolução desse problema.

PASSO 1: Parametrizar a superfície .

Como a superfície está na sua forma explícita, vamos parametrizá-la como:

PASSO 2: Achar o domínio de .

Para achar o domínio de vamos ver se há alguma outra superfície limitando a nossa superfície . No nosso problema queremos considerar a parte do paabolóide que está delimitada pelo cilindro, então o cilindro será o domínio de :

PASSO 3: Calcular as derivadas parciais da função em relação a e .

PASSO 4: Escrever a função em termos das variaveis de parametrização.

Nesse caso, como a nossa parametrização foi explícita e as variáveis de parametrização continuam sendo e a nossa função não vai mudar.

Mas fica atento, porque se a parametrização não for explícita a função muda um pouco quando a escrevemos em termos das variáveis de parametização, beleza?

PASSO 5: Montar a integral.

Vamos pegar a fórmula:

Reescrever em termos de , que é a nossa função e de e que são as nossas variáveis da parametrização:

Agora vamos substituir tudo que encontramos até o momento:

Onde

E agora vamos resolver a integral como resolveríamos uma integral dupla. Nesse caso seria legal usar uma mudança polar (fica a dica 😉).

E é isso que temos para falar pra você sobre as integrais de superfície em um campo escalar. Você pode avançar nos seus estudos e ir entender as integrais de superície em um campo vetorial, conferindo essa nossa página aqui: Integrais de superfície - caso vetorial.

Mas, caso você ainda não esteja seguro para avançar, você pode assistir o vídeo que eu vou deixar aqui em embaixo 👇🏾 sobre integrais de superfície em campo escalar para fixar ainda mais esse conteúdo.

Vídeo

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O que é Integral de Superfície?

Como calcular uma Integral de Superfície?

Vídeo

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