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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.6 - Ex. 53

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.

A Parte da superfície z = e - x 2 - y 2 que está acima do círculo x 2 + y 2 ≤ 4

Passo 1

Para o caso de uma função ser do tipo z = f ( x , y ) a área de superfície fica.

A = ∬ 1 + f x 2 + f y 2 d A

z = f x , y = c o s ⁡ ( x 2 + y 2 )

f x 2 = ∂ z ∂ x 2 = ∂ ∂ x e - x 2 - y 2   2 = - 2 x . e - x 2 - y 2 2

f x 2 = 4 x 2 e - 2 ( x 2 + y 2 )

f y 2 = ∂ z ∂ y 2 = ∂ ∂ y e - x 2 - y 2   2 = - 2 y . e - x 2 - y 2 2

f y 2 = 4 y 2 . e - 2 ( x 2 + y 2 )

Assim nós teremos:

1 + f x 2 + f y 2 = 1 + 4 x 2 e - 2 ( x 2 + y 2 ) + 4 y 2 . e - 2 ( x 2 + y 2 ) =

= 1 + 4 ( x 2 + y 2 ) . e - 2 ( x 2 + y 2 )

Assim a área A fica:

A = ∬ 1 + 4 ( x 2 + y 2 ) . e - 2 ( x 2 + y 2 ) d A

Que em coordenadas polares ficará:

A = ∬ 1 + 4 r 2 e - 2 ( r 2 ) r d r d θ onde 0 ≤ t h e t a ≤ 2 π   e 0 ≤ r ≤ 2 região circular x 2 + y 2 ≤ 4

A = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 1 + 4 r 2 e - 2 ( r 2 ) r d r   r d r = 2 π ∫ 0 2 1 + 4 r 2 e - 2 ( r 2 ) r d r   ≅ 13,9783

Resposta

A ≅ 13,9783

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