Teoria

Definição

Antes de aprendermos a integrar em superfícies, precisamos saber como descrevê-las. Uma superfície é um objeto no espaço, assim é natural pensarmos que três variáveis são necessárias para descrevê-la!

Agora imagine a seguinte equação z = 1 - x - y , olhando a figura abaixo, você concorda que ela representa uma superfície?

Então, agora que já vimos a superfície vamos pensar o que isto tem a ver com parametrização! Concorda comigo que se eu te der um valor de x e um valor de y você tem o valor de z ? Basta substituir em z = 1 - x - y ! Ou seja, eu não preciso de 3 variáveis para parametrizar uma superfície e sim de 2!

Isto significa que a superfície tem como parâmetros as variáveis x e y !

Deu para pegar a ideia de parametrização? Se não conseguiu não se preocupe, logo veremos exemplos de parametrização e este assunto vai ficar mais claro! Mas, antes vamos definir parametrização de modo mais formal.

Dizemos, então, que uma superfície S é parametrizada por uma função vetorial φ , tal que:

φ u ,   v = x u ,   v ,   y u ,   v ,   z u ,   v

Dentro de um domínio D do plano u v . Utilizamos u e v como parâmetros, mas você pode escolher a variável que quiser. Não se assuste com essa notação ela vai ficar mais clara ao longo da teoria.

Parametrização explícita

Este é o tipo mais simples de parametrização! Foi o que usamos acima para demonstrar a ideia de parametrização. Ela ocorre quando uma das variáveis pode ser escrita como função das outras duas:

z = f x , y x = g ( y , z ) y = h ( x , z )

Muitas vezes usamos este tipo parametrização sem nem mesmo saber!

Exemplo: Vamos analisar a equação do plano 2 x + y + 7 z = 8 e escrever sua forma paramétrica explícita!

Olhando a equação do plano podemos notar que é possível escrever z = f ( x , y ) ! Agora vamos encontrar f ( x , y ) :

2 x + y + 7 z = 8

7 z = 8 - 2 x - y

z = f x , y = 8 - 2 x - y 7

Pronto! Encontramos nossa primeira superfície parametrizada! Agora só para terminar, vamos colocar nossa parametrização no formato da função vetorial φ ( u , v ) .

Chamamos x = u ,   y = v e z = 8 - 2 u - v 7 , logo:

φ u ,   v = u , v , 8 - 2 u - v 7  

Encontrando o domínio dos parâmetros

Ao parametrizar uma superfície devemos ficar bem atentos quanto a mudança do domínio das variáveis. Ih... Acho que não ficou muito claro né?! Vamos tentar simplificar mostrando como fazer com a equação que vimos lá no início, z = 1 - x - y .

Sem definir nenhum domínio este plano é infinito, é válido para qualquer valor de x , y e z . Mas não queremos o plano todo, mas sim uma parte dele. Então, vamos encontrar o domínio da superfície representada na imagem!

Quem está dizendo quais pontos eu estou usando na parametrização são as variáveis x , y concorda? Então se eu falar quais pontos x , y eu quero trabalhar, eu consigo limitar a superfície.

No nosso primeiro exemplo a gente só quer a parte do plano no primeiro octante. A gente consegue impor isso se x , y estiverem dentro desse triângulo aqui:

Agora como a gente escreve essa região matematicamente? É igual o que a gente fazia em integrais duplas região do tipo I ou do tipo II. Portanto, podemos dizer que

0 ≤ y ≤ 1 - x 0 ≤ x ≤ 1

Então é isso pessoal, quando pedir para parametrizar uma superfície fica ligado se ela pode ser escrita como z = f x , y ,   x = g z , y ,   y = h ( x , z ) . Se puder os parâmetros são as variáveis da função. Depois só achar o domínio em que eles vão variar (no nosso caso foi esse triângulo).

Parametrização explícita

Encontrando o domínio dos parâmetros

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