Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.6 - Ex. 5

Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.

r s , t = ⟨ s , t , t 2 - s 2 ⟩

Passo 1

Fala gente para analisar a superfície precisamos achar função   f x , y , z da função parametrizada para facilitar a compreensão.

Sabendo que:

r s , t = ⟨ s , t , t 2 - s 2 ⟩

Logo:

x = s

y = t

z = t 2 - s 2

Podemos ver x , y , z ainda dependem da função r s , t . Então o primeiro passo é achar uma equação que não tenha essas variáveis.

Para isso precisamos fazer o que chamamos de corte, o que nada mais é do que ver como o conjunto de equações se comportam quando x = 0 , y = 0 e z = 1 .

Bom, mas por que esses cortes??

Se:

x = 0 , estaremos analisando o plano y z

y = 0 , estaremos analisando o plano x z

z = 1 , estaremos analisando o plano x y

A partir desse resultado seremos capazes de identificar a superfície.

Passo 2

Vamos começar por x   =   0 .Substituindo nas equações anteriores:

x = 0

y = t

z = t 2 - 0 2

Podemos perceber que quando isso ocorre nós temos:

z = t 2 = y 2

Logo para esse primeiro corte temos uma parábola virada para cima.

Passo 3

Agora se fizermos y   =   0 e substituirmos os valores nas equações teremos:

x = s

y = 0

z = 0 2 - s 2

Logo teremos que:

z = - s 2 = - x 2

Agora teremos outra parábola com concavidade para baixo agora.

Passo 4

Finalmente fazendo um corte em z   =   1 ,teremos:

x = s

y = t

1 = t 2 - s 2

Logo:

1 = y 2 - x 2

Opa , é a equação de uma hipérbole.

Assim temos duas parábolas e uma hipérbole. Nossa superfície é denominada

P a r a b o l ó i d e   H i p e r b ó l i c o

Resposta

P a r a b o l ó i d e   H i p e r b ó l i c o

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 1 a 7, a equação dada é uma representação implícita de uma superfície S.Identifique a superfícieEscrever algumas representações explícitas de partes de S, representando-as graficamente.
Nos exercícios 8 a 14, obter uma equação cartesiana para a superfície dada. Representá-la graficamente. r → u , v = u i → + u 2 j → + v k →
Nos exercícios 1 a 7, a equação dada é uma representação implícita de uma superfície S.Identifique a superfícieEscrever algumas representações explícitas de partes de S, representando-as graficamente.
Nos exercícios 1 a 7, a equação dada é uma representação implícita de uma superfície S.Identifique a superfícieEscrever algumas representações explícitas de partes de S, representando-as graficamente.
Nos exercícios 15 a 20, parametrizar as seguintes superfícies, dadas implicitamente: x 2 + y 2 - z = 1