Teoria

Opa! Bora aprender como resolver uma integral por substituição simples de uma vez por todas?

Como Resolver uma Integral por Substituição

Esse método de integração é um dos mais simples que a gente vai aprender, ele pode até ter uma cara feia inicialmente…mas com a prática você vai ver o quão tranquilo é e o quanto ele vai te salvar nas listas de exercícios! Então bora?

Imagina que você chega na sua prova e se depara com a seguinte integral:

Exemplo
Exemplo

E ai, o que você faz? Se prepara que eu vou te dar o Passo a Passo para não ficar perdido quando tiver que resolver uma integral por substituição simples!

📢 Clique para ver mais:

Passo 1: Definir a Variável

Nesse método de derivação a gente vai fazer uma substituição de variável, ou seja, vamos trocar o por e você vai ver que isso vai simplificar muito a nossa vida! Para nossa integral podemos fazer:

Passo 1: Definir a Variável u
Passo 1: Definir a Variável u

-Opa, mas como eu escolho quem vai ser o ? 😖

O segredo aqui é identificar dentro da integral duas partes diferentes, onde uma deve se relacionar com a outra a partir de uma derivada. No nosso exemplo podemos dividir a integral nesses dois termos:

Partes da integral
Partes da integral

Dentro da raiz, temos a expressão, , calculando a derivada dessa expressão:

Calcular du/dx
Calcular du/dx

Reparou como o primeiro termo, e a derivada do nosso são parecidos!? Esse é o espirito da coisa! Com prática você vai conseguir identificar o rapidinho!

Passo 2: Definir

Nessa parte a gente precisa calcular a derivada de com relação a , mas a gente já fez esse cálculo ali em cima, então só precisamos isolar o :

Passo 2: Definir du
Passo 2: Definir du

Passo 3: Substituir e na integral

Lembrando que a nossa integral é:

Exemplo
Exemplo

A gente já sabe quem é o ai dentro, mas quem é o ?! Lembra que o era parecido com o , então vamos pegar a expressão de lá em cima e isolar o pra ver em que vai dar:

Isolar x²
Isolar x²

Opa! Agora sim, podemos substituir na nossa integral:

Passo 3: Substituir u e du na integral
Passo 3: Substituir u e du na integral

Opa, a gente já tá de cara pro gol! Que tal continuar acompanhando essa resolução no vídeo abaixo!? 👇

Passo 4: Verificar se não sobrou nenhum na integral

No nosso exemplo encontramos, após a substituição simples, a integral:

Passo 5: Resolver a integral em relação a

Passo 6: Retornar para a variável inicial

Escrevemos que , então voltando a variável para :

Dicas para Escolher o

Muitas vezes, você tem que investigar, analisar e reescrever algebricamente sua integral para encontrar como dividi-la em diferentes termos para aplicar a substituição. Existem várias possibilidades para o método da substituição simples, ou seja, o que você vai escolher para substituir como pode ser:

  • Argumento de uma função trigonométrica
  • A própria função trigonométrica
  • Função exponencial ou o argumento dela
  • Função logarítmica ou o argumento dela

Entre outras opções.... O importante é perceber a relação entre um dos termos que você separou e a derivada do outro termo. Vamos olhar mais um exemplo de integral:

Nesse aqui a gente pode perceber que é a derivada de . Então a partir dessa relação que encontramos fazemos:

Substituindo na nossa integra:

E agora sabemos calcular! Só não esquece de voltar para a variável depois de calcular a integral, hein! Outro exemplo:

Nesse caso o que vamos querer substituir será:

Porque quando derivarmos vamos encontrar algo parecido com que está na nossa integral, olha:

E reescreveremos a integral após a substituição na forma:

E mais uma vez, depois de calcular não esquece de voltar para a variável inicial! Nesse caso teríamos:

Agora vamos praticar com exercícios?

Dicas para Escolher o

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