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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 80

Calcule a integral

int (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Podemos reescrever a integral da seguinte maneira

int (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x = int (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) (2 cos x)/(2 cos x) d x = int (2 cos 2 x)/(2 s e n x cos x + 2) d x

Podemos simplificar a integral utilizando as relações de arco duplo

int (2 cos 2 x)/(s e n ( 2 x ) + 2) d x

Passo 3

Agora, iremos utilizar a seguinte substituição

u = s e n (2 x) + 2 ; d u = 2 cos 2 x d x

int (2 cos 2 x)/(s e n ( 2 x ) + 2) d x = int (1)/(u) d u

Resolvendo a integral, temos

int (1)/(u) d u = ln u + C

Ao voltar de u para x , temos nossa resposta

ln u + C = ln ( s e n (2 x) + 2 ) + C

Resposta

int (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x = ln ( s e n (2 x) + 2 ) + C

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