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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 47

Calcule a integral.

int x^3 (x - 1)^(- 4) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma expressão elevada a - 4 , podemos tentar fazer com que u seja essa expressão, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x - 1 -> x = u + 1

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int x^3 (x - 1)^(- 4) d x = int (u + 1)^3 u^(- 4) d u = int (u^3 + 3 u^2 + 3 u + 1) u^(- 4) d u = int u^(- 1) + 3 u^(- 2) + 3 u^(- 3) + u^4 d u = int (1)/(u) d u + int 3 u^(- 2) d u + int 3 u^(- 3) d u + int u^(- 4) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Então ficamos com:

int (1)/(u) d u + int 3 u^(- 2) d u + int 3 u^(- 3) d u + int u^(- 4) d u = int (1)/(u) d u + 3 int u^(- 2) d u + 3 int u^(- 3) d u + int u^(- 4) d u = = ln |u| + 3 * ((u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1)) + 3 * ((u^(- 3 + 1))/(- 3 + 1)) + (u^(- 4 + 1))/(- 4 + 1) + C = ln |u| + (3 u^(- 1))/(- 1) + (3 u^(- 2))/(- 2) + (u^(- 3))/(- 3) + C = ln |u| - 3 u^(- 1) - (3 u^(- 2))/(2) - (u^(- 3))/(3) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = x - 1 :

int x^3 (x - 1)^(- 4) d x = int (1)/(u) d u + int 3 u^(- 2) d u + int 3 u^(- 3) d u + int u^(- 4) d u = ln |u| - 3 u^(- 1) - (3 u^(- 2))/(2) - (u^(- 3))/(3) + C = ln |x - 1| - 3 (x - 1)^(- 1) - (3 (x - 1)^(- 2))/(2) - ((x - 1)^(- 3))/(3) + C

Resposta

int x^3 (x - 1)^(- 4) d x = ln |x - 1| - 3 (x - 1)^(- 1) - (3 (x - 1)^(- 2))/(2) - ((x - 1)^(- 3))/(3) + C

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