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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 1

1 . Considere um tanque usado em determinados experimentos em hidrodinâmica. Depois de um experimento, o tanque contém 200 litros de uma solução de tinta com uma concentração de 1 grama por litro. Para preparar o tanque para o próximo experimento, ele é lavado com águafresca fluindo a uma taxa de 2 litros por minuto, e a solução bem misturada flui para fora à mesma taxa. Encontre o tempo gasto até a concentração de tinta no tanque atingir 1% de seu valor original

Passo 1

A equação diferencial que resolve esse problema pode ser encontrada na seção deste livro, mas podemos escrever como

d Q d t = T a x a   d e   E n t r a d a - T a x a   d e   S a i d a

d Q d t = γ r - r Q V

Onde Q é a concentração do nosso material

d Q d t é a variação dessa concentração

γ é a concentração do volume do líquido que entra

r é a vazão de água que entra no tanque, se entrar a mesma quantidade que sai, logo podemos repetir r nos 2 termos

V é o volume do tanque

A solução dessa equação também pode ser encontrada nessa seção e podemos escrever como

d Q d t = γ r - r Q V

1 γ r - r Q V d Q = d t

Integrando em ambos os lados temos

- V r ln ⁡ γ r - r Q V = t + C

ln ⁡ γ r - r Q V = - r V t + C

γ r - r Q V = e - r V t + C

Ajustando um pouquinho essa equação e lembrando que podemos manipular a vontade nossa constante arbitraria, podemos escrever a solução como

Q = γ V - C e - r t V r

Ou de forma mais limpa podemos escrever

Q = γ V + C e - r t V

Prontinho!!! Temos nossa equação para trabalhar \o/

Passo 2

Vamos agora usar os dados de contorno para resolver nosso problema. Sabemos que

V = 200   L

γ = 0   g / L

r = 2   L / m i n

Q 0 = 1 ⋅ 200 = 200 g

Q t f = 1 % ⋅ 200 = 2 g

Nossa concentração – γ – é zero porque a água que entra é limpa. Vamos achar o valor da nossa constante arbitraria

Q = γ V + C e - r t V

200 = C e 0

C = 20 0

Assim nossa equação fica

Q = 200 e - 2 t 200 → 200 e - t 100

Passo 3

Agora vamos achar t para que

Q t f = 1 % ⋅ 200 = 2 g

Então vamos lá !!!

Q = 200 e - t 100

2 = 200 e - t 100

1 100 = e - t 100

ln ⁡ 1 100 =   - t 100

t = - 100 ( ln ⁡ 1 - ln ⁡ 100 )

t = 100 ln ⁡ 100 → 460   m i n

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t = 100 ln ⁡ 100 → 460   m i n

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