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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 24c

24. Um trenó foguete, com velocidade inicial de 150 milhas/h (≈ 240 km/h), é freado por um canalde água. Suponha que, enquanto está sendo freado, a aceleração a do trenó é dada por a(υ) = –μυ², em que υ é a velocidade e μ é uma constante.(a) Como no Exemplo 4 no texto, use a relação dυ/dt = υ(dυ/dx) para escrever a equação demovimento em termos de υ e de x.(b) Se for necessária uma distância de 2000 pés para diminuir a velocidade do trenó para 15milhas/h, determine o valor de μ.(c) Encontre o tempo τ necessário para diminuir a velocidade do trenó para 15 milhas/h.

Passo 1

Vamos precisar fazer uma manipulação aqui para conseguir resolver essa questão

d v d t = – μ υ ²

E olha que ótimo, essa função é separável . \o/ Vamos cair dentro então !

- 1 v 2 d v = μ d t

Lembrando que já descobrimos o valor de μ

μ = ln ⁡ 10 610

Vamos substituir esse valor e integrar em ambos os lados

1 v =   ln ⁡ 10 610 t + C

v = 1 ln ⁡ 10 610 t + C

Passo 2

Vamos descobrir o valor de C utilizando os dados de contorno

v 0 = 240 k m h → 240 3,6   m / s  

240 3,6 = 1 C

Logo nossa função é

v =   1 ln ⁡ 10 610 t + 3,6 240  

Passo 3

Agora sabendo que v = 24 k m h = 24 3,6 m s vamos descobrir o tempo para frearmos o treno

24 3,6 =   1 ln ⁡ 10 610 t + 3,6 240  

ln ⁡ 10 610 t + 3,6 240 = 3,6 24

t = 610 ⋅ 3,6 ln ⁡ 10 1 24 - 1 240

t = 36   s

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

t = 36   s

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