Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.6 - Ex. 10
a) Encontre a excentricidade, b) identifique a cônica, c) dê uma equação da diretriz e d) esboce a cônica.
Passo 1
Fala ai! Vamos lembrar de um teorema importante citado no livro que vai nos ajudar a resolver essa questãozinha.
a) Teorema 6:
Equação polar tem a forma.
Lembrando que é a excentricidade.
Note que o denominador está como então temos que transformar esse denominador de modo que temos a soma de 1 com algum fator trigonométrico.
Passo 2
Para conseguirmos a mesma estrutura do Teorema, temos que dividirmos numerador e denominador por , assim teremos:
Agora podemos comparar as duas equações e com isso encontramos um valor de excentricidade igual a:
Passo 3
b) Vamos lembrar que:
- Se A elipse é uma elipse de formato alongado, onde 𝑒e representa o quão longe os focos estão do centro em relação ao tamanho da elipse.
- Se : A elipse é na verdade um círculo (caso especial de elipse com excentricidade zero).
- Se : A elipse é uma parábola (caso especial de elipse onde os focos estão infinitamente distantes).
Sendo assim, como , ou seja, menor que 1, a equação representa uma elipse.
Passo 4
Pelo denominador estar com uma função seno então sabemos que a diretriz é uma reta e por ser positiva sabemos que ela é um valor de positivo, logo a equação da reta diretriz vale:
Passo 5
A equação tem valores mínimos quando pois o denominador é máximo e tem valor mínimo quando em que o denominador é mínimo, esses serão os pontos de vértice. Logo a posição desses vértices em coordenadas polares serão:
Fazendo a soma de duas coordenadas polares e depois dividimos por dois nós conseguimos encontrar o centro dessa elipse em coordenadas polares iguais a:
