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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 66

Desenhe as retas e seções cônicas nos Exercícios 65-74.

r = 4 sec ⁡ θ + π 6

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será usar as transformações de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, para encontrar a equação cartesiana da equação polar dada. Para isso podemos fazer uso das seguintes relações:

x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Por fim, com auxílio de software, podemos traçar o esboço da equação cartesiana encontrada.

Bora lá?

Passo 2

De início, sabendo que sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , podemos dizer que:

r = 4 sec ⁡ θ + π 6   ⟹ r = 4 c os ⁡ θ + π 6   ⟹ r cos ⁡ θ + π 6 = 4

Veja que a equação encontrada, apresenta uma soma entre dois arcos, portanto usaremos a seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ x + y = cos ⁡ x ∙ cos ⁡ y - sen ⁡ x ∙ sen ⁡ y

Logo,

r cos ⁡ θ + π 6 = 4   ⟹ r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ π 6 - sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 6 = 4  

Aplicando a distributiva, temos:

r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ π 6 - r sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 6 = 4

Usando as relações citadas no passo 1 e determinando os valores conhecidos, temos:

x ∙ 3 2 - y ∙ 1 2 = 4

Multiplicando ambos os lados por 2 , têm-se:

3 x - y = 8

Encontramos assim, nossa equação em coordenadas cartesianas e ela representa uma reta.

Passo 3

Agora, traçando o gráfico da equação, com auxílio de um software, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

3 x - y = 8 .

Exercícios de Livros Relacionados

r = 2 2 - s e n θ . (a) ache a excentricidade; (b) identifique a cônica; (c) escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem; (d) faça um esboço da curva.
Ache os pontos de intersecção dos gráficos das equações r = t g θ e r = c o t g θ .
r = 4 3 - 2 c o s θ . (a) ache a excentricidade; (b) identifique a cônica; (c) escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem; (d) faça um esboço da curva.
r = 4 2 + 3 c o s θ . (a) ache a excentricidade; (b) identifique a cônica; (c) escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem; (d) faça um esboço da curva.
Ache a equação polar da cônica que satisfaz as condições dadas e faça um esboço gráfico. Um foco na origem; vétices em (2, π ) e (4, π ).