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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 55

55- Determine a área da superfície do Exercício 7 com precisão até a quarta decimal

Passo 1

Bem vamos anotar aqui o que tem pra gente no Exercício 7, a superfície paramétrica nela é:

r u , v = < cos 3 ⁡ u cos 3 ⁡ v , s e n 3 u c o s 3 v , s e n 3 v >

0 ≤ u ≤ π , 0 ≤ v ≤ 2 π

Passo 2

Com essa informação vamos armar nossa integral de superfície que tem cara igual a:

∫ 0 π ∫ 0 2 π r u × r v d v   d u

Dessa forma:

r u = < - 3 cos 2 ⁡ u cos 3 ⁡ v s e n   u , 3 s e n 2 u c o s 3 v cos ⁡ u , 0 >

r v = < - 3 cos 2 ⁡ v cos 3 ⁡ u s e n   v , - 3 cos 2 ⁡ v s e n 3 u s e n   v , 3 s e n 2 v cos ⁡ v >  

Agora fazendo a multiplicação r u × r v temos:

r u × r v = i j k - 3 cos 2 ⁡ u cos 3 ⁡ v s e n   u 3 s e n 2 u c o s 3 v cos ⁡ u 0 - 3 cos 2 ⁡ v cos 3 ⁡ u s e n   v - 3 cos 2 ⁡ v s e n 3 u s e n   v 3 s e n 2 v cos ⁡ v

Fazendo a determinante dessa coisa toda aí temos:

r u × r v = 9 s e n 2 u   s e n 2 v cos 4 ⁡ v i + 9 cos 2 ⁡ u s e n u cos 4 ⁡ v s e n 2 v j +

9 cos 2 ⁡ u cos 5 ⁡ v s e n 4 u   s e n   v   + 9 s e n 2 u   c o s 5 v   c o s 4 u   s e n   v k

Fazendo a soma no componente z temos:

9 cos 5 ⁡ v s e n   v c o s 2 u   s e n 2 u cos 2 ⁡ u + s e n 2 u = 9 cos 5 ⁡ v s e n   v cos 2 ⁡ u   s e n 2 u

Logo:

r u × r v = 9 cos ⁡ u s e n 2 u   s e n 2 v cos 4 ⁡ v i + 9 cos 2 ⁡ u s e n u cos 4 ⁡ v s e n 2 v j + 9 cos 5 ⁡ v s e n   v cos 2 ⁡ u   s e n 2 u k

Então o módulo de r u × r v será:

| r u × r v |

= 9 cos ⁡ u s e n 2 u   s e n 2 v cos 4 ⁡ v 2 + 9 cos 2 ⁡ u s e n u cos 4 ⁡ v s e n 2 v 2 + 9 cos 5 ⁡ v s e n   v cos 2 ⁡ u   s e n 2 u 2

= 9 cos 2 ⁡ u s e n 4 u   s e n 4 v c o s 8 v + cos 4 ⁡ u   s e n 2 u cos 8 ⁡ v s e n 4 v + cos 10 ⁡ v s e n 2 v   c o s 4 u   s e n 4 u

Arrumando isso tudo:

= 9 cos 2 ⁡ u   s e n 2 u s e n 2 v c o s 8 v s e n 2 u s e n 2 v + cos 2 ⁡ u s e n 2 v + cos 2 ⁡ v cos 2 ⁡ u s e n 2 u

O que é a mesma coisa que:

r u × r v = 9 cos 4 ⁡ v | cos ⁡ u s e n   u   s e n   v |   s e n 2 v + cos 2 ⁡ v cos 2 ⁡ u   s e n 2 u

Não se esquecendo que:

u 2 = | u |

Isso será muito importante para o cálculo da integral.

Passo 3

O que nos deixa então a integral da seguinte maneira:

∫ 0 π ∫ 0 2 π 9 cos 4 ⁡ v | cos ⁡ u s e n   u   s e n   v |   s e n 2 v + cos 2 ⁡ v cos 2 ⁡ u   s e n 2 u   d v   d u

Utilizando um programa algébrico (de preferência que tenha servidores em outro local para fazer a conta por você) como o Desmos nós temos uma resposta para essa integral igual a:

Com precisão de quatro casas temos:

4.4506

Resposta

4.4506

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Seja K o conjunto do plano x y limitado pelas curvas (em coordenadas polares) ρ = t gθ , 0θπ 2 ,eθ = π 4 . Calcule a área da superfície z = x y , x , y ∈ K .
Seja K o conjunto do plano x y limitado pelas curvas (em coordenadas polares) ρ 2 = cos ⁡ 2 θ , - π 4 ≤ θ ≤ π 4 ,eθ = π 4 . Calcule a área da superfície z = x y , x , y ∈ K .
Calcule ∬_K f (x , y , z) d S sendo:f (x , y , z) = x ; sigma (u , v) = (u , v , u^2 + v) , 0 = u = 1 e u^2 = v = 1 .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: g )f x , y , z = z ;σ é a parte da superfície z 2 = x 2 + y 2 que se encontra acima do paraboloide 4 z = x 2 + y 2 + 3 .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: i )f x , y , z = 1 - x 2 ;σ é a parte da superfície cilíndrica z 2 + x 2 = 1 que se encontra dentro do cone z ≥ x 2 + y 2 .