Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.4 - Ex. 10
10-
Faça os gráficos das funções nos Exercícios 9 e 10. Em seguida, responda às questões.
- Qual é o domínio e a imagem de ?
- Em que pontos , se houver, existe?
- Em que pontos existe o limite a esquerda?
- Em que pontos existe o limite a direita?
Passo 1
Representando a primeira linha temos uma reta no domínio indo de e em como representado na figura abaixo em vermelho.
Agora a segunda linha nos diz que em o nosso ponto vale 1, como em azul:
Agora a terceira linha diz que para e temos o valor 0, como o que se encontra em verde.
Passo 2
Letra a)
O domínio é tudo aquilo que é representável no eixo e por mais que tenhamos alguns pontos abertos em alguns pontos temos também pontos fechados nesses mesmos pontos, logo nosso domínio se encontra em todos os reais.
Já a imagem é tudo aquilo que se encontra no eixo e a mesma tem um alcance limitado a -1 e 1, onde eu consigo alcançar esses dois pontos:
Passo 3
Letras b c d)
A função possui quatro intervalos bem definidos pela quebra de continuidade que são:
Então temos que analisar os limites nos pontos em , e .
Em :
A esquerda temos a reta que tende a dar 0 em
E a direita a reta temos a reta que tende a dar -1
Como os limites são diferentes então não temos a bilateralidade
Em :
A esquerda temos a reta que tende a dar zero.
A direita a mesma coisa
Logo temos a bilateralidade, então temos um limite definido nesse ponto
Em :
A esquerda temos a reta que nos dá valor da função igual a 1
A direita temos a reta , o que dá valor de função igual a zero.
Como os resultados são diferentes
Como a letra b quer saber os valores de nas quais eu possuo a bilateralidade, então em tenho que descartar e , o que dá um domínio de:
Como todos esses pontos críticos possuem limites a esquerda e a direita além de todos onde tem função contínua logo todo o domínio é a resposta.
Resposta
- Domínio: , Imagem: