11. Expresse o comprimentro da aresta de um cubo em função do comprimento da diagonal d . Depois, expresse a área da superfície e o volume do cubo em função do comprimento da diagonal.

Passo 1

Para nós conseguirmos achar o valor da aresta, x , precisamos usar pitagoras no triângulo ACD, porém não temos o valor de y .

Então precisamos calcular ele primeiro, usando pitagoras no triângulo ABC:

y 2 = x 2 + x 2

y 2 = 2 x 2

y = 2 x

Passo 2

Agora, como já temos o y conseguimos calcular x em função de d usando pitagoras no triangulo ACD:

d 2 = x 2 + y 2

d 2 = x 2 + ( 2 x ) 2

d 2 = x 2 + 2 x 2

d 2 = 3 x 2

d = 3 x

x = 3 d 3

Passo 3

A superfície do cubo é formada por 6 quadrados, então devemos achar a área desse quadrado e multiplicar ele por 6:

A c u b o d = 6 ⋅ A q u a d r a d o

A c u b o d = 6 ⋅ x 2

A c u b o d = 6 ⋅ 3 d 3 2

A c u b o d = 6 ⋅ d 2 3

A c u b o d = 2 d 2

Passo 4

O volume do cubo é igual a sua aresta ao cubo:

V c u b o d = x 3  

V c u b o d = 3 d 3 3

V c u b o d = 3 d 3 9

Resposta

x = 3 d 3

A c u b o d = 2 d 2

V c u b o d = 3 d 3 9

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