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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 25

Expresse a medida da área exata da região pelo Limite da Soma de Riemann e Integral . E depois, Calcule essa área.

Limitada pela reta y = 12 - x – x² , pelo eixo x e pelas retas x = 2 e x = -3

Passo 1

Soma de Riemann

∑ i = 1 n f x i ∆ x i  

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x i =   ∫ a b f ( x ) d x

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Queremos a área embaixo da curva e limitada pelo intervalo de x ∈   [2 ,-3 ]

Então essa área pode ser expressa como :

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 12 -   x i - x 2 i ) ∆ x i =   ∫ - 3 2 1 2 -   x   –   x ² d x

Passo 3

Calculando A área por integração :

∫ - 3 2 1 2 -   x   –   x ² d x =   1 2 x - 1 2 x 2 - 1 3 x ³ x = - 3 2  

= 1 2 2 - - 3 - 1 2 2 2 - - 3 2 - 1 3 2 3 - ( - 3 ) ³

= 305/6

Resposta

∫ - 3 2 1 2 -   x   –   x ² d x = 305 6

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