Um modelo usado para a produção Y de uma colheita agrícola como função do nível de nitrogênio N no solo (medido em unidades apropriadas) é Y = k N 1 + N 2 Em que k é um constante positiva. Que nível de nitrogênio dá a melhor produção?

O nível de nitrogênio que dá a melhor produção é N = 1

Enunciado

E aí! tudo certinho? 😁

Nesse problema temos a função

Que corresponde à produção agrícola em função de um nível de nitrogênio no solo.

A partir daí queremos determinar o valor de para que seja o maior possivel.

Tem ideia de como fazemos isso? 👀

Para resolver esse problema temos que encontrar o ponto de máximo da função . E para isso temos que derivar a função e igualar a .

Os valores de que encontrarmos substituímos em e vemos qual é o maior.

Sacou? Bora começar! 😉

Para encontrar o valor máximo, basta derivarmos e igualarmos a zero. Sendo

Perceba que essa função é formada pela divisão entre duas outras funções. Assim, sua derivada será feita usando a regra do quociente.

Onde:

Então

Estamos chamando

Assim, sua derivada será:

Já

E sua derivada será:

Aplicando na regra do quociente ficamos com:

E fazendo a distributiva e organizando melhor as contas, teremos:

Ou melhor:

Agora vamos procurar o valor de que faz essa derivada zerar. Assim:

Igualando a ...

Como o denominador nunca pode zerar, vamos nos preocupar apenas como o numerador, assim:

Nosso enunciado nos disse que é uma constante positiva. Assim,

Como , temos que

E podemos calcular o valor máximo de

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😬

O nível de nitrogênio que dá a melhor produção é