Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 9
Um modelo usado para a produção de uma colheita agrícola como função do nível de nitrogênio no solo (medido em unidades apropriadas) é
Em que é um constante positiva. Que nível de nitrogênio dá a melhor produção?
Passo 1
E aí! tudo certinho? 😁
Nesse problema temos a função
Que corresponde à produção agrícola em função de um nível de nitrogênio no solo.
A partir daí queremos determinar o valor de para que seja o maior possivel.
Tem ideia de como fazemos isso? 👀
Para resolver esse problema temos que encontrar o ponto de máximo da função . E para isso temos que derivar a função e igualar a .
Os valores de que encontrarmos substituímos em e vemos qual é o maior.
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Para encontrar o valor máximo, basta derivarmos e igualarmos a zero. Sendo
Perceba que essa função é formada pela divisão entre duas outras funções. Assim, sua derivada será feita usando a regra do quociente.
Onde:
Então
Estamos chamando
Assim, sua derivada será:
Já
E sua derivada será:
Aplicando na regra do quociente ficamos com:
E fazendo a distributiva e organizando melhor as contas, teremos:
Ou melhor:
Passo 3
Agora vamos procurar o valor de que faz essa derivada zerar. Assim:
Igualando a ...
Como o denominador nunca pode zerar, vamos nos preocupar apenas como o numerador, assim:
Nosso enunciado nos disse que é uma constante positiva. Assim,
Como , temos que
E podemos calcular o valor máximo de
E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😬
Resposta
O nível de nitrogênio que dá a melhor produção é