Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 64
Uma empresa opera 16 poços de petróleo em uma área designada. Cada bomba, em média, extrai 240 barris de óleo diariamente. A empresa pode adicionar mais poços, mas cada poço adicionado reduz a produção média diária de cada um dos poços em 8 barris. Quantos poços a empresa deve adicionar para maximizar a produção diária?
Passo 1
Fala aí, Beleza!
Esse exercício fala para gente de uma empresa que opera 16 poços de petróleo, e diz que cada bomba extrai 240 barris de óleo. Porém, para cada poço que a empresa adicionar a produção média diária dos poços será reduzida em 8 barris.
Precisaremos determinar o número ideal de poços para que a produção de óleo seja maximizada.
E a primeira coisa que faremos aqui é encontrar uma função matemática que modela a produção de barris de óleo de acordo com o número de poços.
Como queremos a maximização dessa produção, basta encontrar seu ponto de máximo fazendo a derivada dessa função e igualando a zero.
Vamos ver isso acontecendo no passo a passo. Vem comigo.
Passo 2
Vamos começar modelando a produção.
Seja a produção diária dada pela função
Sabemos que para inicialmente temos 16 poços produzindo 240 barris.
Então a produção é de:
A cada poço adicional, a quantidade de barris por poço reduz em 8.
Para poços, vamos ter então a seguinte função:
Portanto, para , a função produção diária é dada por:
Passo 3
Para encontrar o valor critico de , devemos calcular o valor de para que sua derivada seja zero.
Usando a regra do expoente, teremos:
Então, a produção máxima será:
E essa é a produção máxima.