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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 13

13. Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada.

g x = x 2 x 2 + 4

Passo 1

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de g ( x ) , mas antes alguns lembretes:

d d x x n = n x n - 1

d d x f x g x = f ´ x ⋅ g x - f x ⋅ g ´ x g x 2

d d x c ⋅ f x = c ⋅ d d x f x = c ⋅ f ´ x ,   s e   c   f o r   c o n s t a n t e   n ã o   d e p e n d e r   d e   x .

d d x f g x = f ´ g x ⋅ g ´ ( x )

Agora ficou fácil derivar g ( x ) , olha só:

g x = x 2 x 2 + 4

g ´ x = 2 x ⋅ x 2 + 4 - x 2 ⋅ 2 x x 2 + 4 2

g ´ x = 2 x 3 + 8 x - 2 x 3 x 2 + 4 2

g ´ x = 8 x x 2 + 4 2

Passo 2

Para encontrar g ´ ´ ( x ) basta derivar g ´ x , usando a regra da potência e do quociente temos:

g ´ x = 8 x x 2 + 4 2

g ´ ´ x = 8 ⋅ x 2 + 4 2 - 8 x ⋅ 2 ⋅ x 2 + 4 ⋅ 2 x x 2 + 4 2 2

g ´ ´ x = 8 ⋅ x 4 + 8 x 2 + 16 - 32 x 2 ⋅ x 2 + 4 x 2 + 4 4

g ´ ´ x = 8 x 4 + 64 x 2 + 128 - 32 x 4 - 128 x 2 x 2 + 4 4

g ´ ´ x = - 24 x 4 - 64 x 2 + 128 x 2 + 4 4

Resposta

g ´ x = 8 x x 2 + 4 2

g ´ ´ x = - 24 x 4 - 64 x 2 + 128 x 2 + 4 4

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