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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 30

13-30. Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

30. ∫ π 6 π 2 x + 2 s e n 2 x d x

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral em questão vamos nos lembrar da Parte 1 do TFC, tudo bem? Ele nos diz o seguinte:

“Se f for contínua em a ,   b e F for uma antiderivada de f nesse intervalo então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a ) "

Aqui vale ressaltar que F é o resultado da integral (antiderivada de f ), ok? Show! Tendo isso em vista, bora pra cima!

Passo 2

A integral que nos foi dada é:

∫ π 6 π 2 x + 2 s e n 2 x d x

Podemos reescrever essa integral da seguinte forma:

∫ π 6 π 2 x + 2 s e n 2 x d x = ∫ π 6 π 2 x d x + 2 ∫ π 6 π 2 1 s e n 2   x d x

Como 1 s e n 2 x = csc 2 ⁡ x , então:

2 ∫ π 6 π 2 1 s e n 2   x d x = 2 ∫ π 6 π 2 csc 2 ⁡ x d x

Então nossa integral virou:

∫ π 6 π 2 x + 2 s e n 2 x d x = ∫ π 6 π 2 x d x + 2 ∫ π 6 π 2 csc 2 ⁡ x d x

Show, simplificamos bastante!

Passo 3

Para a primeira integral temos que utilizar a seguinte regra para resolve-la:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Então teremos:

∫ π 6 π 2 x d x = x 2 2 π 2 π 6

Já para a segunda integral temos que se trata de uma integral tabelada, galera! Utilizando a tabela 5.2.1 da página 324 do Anton, temos que o resultado dessa integral é:

2 ∫ π 6 π 2 csc 2 ⁡ x d x = - 2 cot ⁡ x π 2 π 6

Unindo as duas integrais novamente, teremos:

∫ π 6 π 2 x + 2 s e n 2 x d x = x 2 2 π 2 π 6 - - 2 cot ⁡ x π 2 π 6

Aplicando o TFC, teremos:

x 2 2 π 2 π 6 - - 2 cot ⁡ x π 2 π 6 = π 2 9 + 2 3

∴ ∫ π 6 π 2 x + 2 s e n 2 x d x = π 2 9 + 2 3

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

∫ π 6 π 2 x + 2 s e n 2 x d x = π 2 9 + 2 3

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Determine a linearização de g x = 3 + ∫ 1 x 2 sec ⁡ t - 1d t Em x = - 1 .
Suponha que ∫ 1 x f ( t )d t = x 2 - 2 x + 1 . Determine f ( x ) .
Determine lim x → ∞ ⁡ 1 x∫ 1 x d t t
Determine a linearização de g x = 2 - ∫ 2 x + 1 9 1 + td t Em x = 1 .
Suponha que f tenha uma derivada positiva para todos os valores de x e que f 1 = 0 . Qual das seguintes afirmações deve ser verdadeira sobre a função g x = ∫ 0 x f td t Justifique sua resposta. g é um