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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 27

13-30. Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

27. ∫ 2 2 d x x x 2 - 1

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral em questão vamos nos lembrar da Parte 1 do TFC, tudo bem? Ele nos diz o seguinte:

“Se f for contínua em a ,   b e F for uma antiderivada de f nesse intervalo então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a ) "

Aqui vale ressaltar que F é o resultado da integral (antiderivada de f ), ok? Show! Tendo isso em vista, bora pra cima!

Passo 2

A integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ 2 2 d x x x 2 - 1

Essa integral é uma integral tabelada, galera! Utilizando a tabela 5.2.1 da página 324 do Anton, temos que o resultado dessa integral é:

∫ 2 2 d x x x 2 - 1 = sec - 1 ⁡ x 2 2

Aplicando o TFC, teremos:

sec - 1 ⁡ x 2 2 = sec - 1 ⁡ 2 - sec - 1 ⁡ 2 = π 3 - π 4

∴ ∫ 2 2 d x x x 2 - 1 = π 12

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

∫ 2 2 d x x x 2 - 1 = π 12

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