1-38 Calcule a integral.

26. ∫ x e x x + 1 2 d x

Passo 1

Galeraaaa,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l → f u n ç õ e s   l o g a r í t m i c a s

i → i n v e r s a s   t r i g o n o m é t r i c a s

a → f u n ç õ e s   a l g é b r i c a s

t → f u n ç õ e s   t r i g o n o m é t r i c a s

e → f u n ç õ e s   e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Mas antes, é melhor a gente fazer uma substituição pra facilitar a nossa vida. Olha só, vamos chamar k = x + 1 .

Daí, vamos ter que

k - 1 = x → d k = d x

Assim, a nossa nova integral será dada por

∫ ( k - 1 ) e k - 1 k 2 d k = ∫ k e k - 1 k 2 d k - ∫ e k - 1 k 2 d k

Passo 2

Agora simmmm!!! Partiu integrar!!!!

Vamos começar por ∫ k e k - 1 k 2 d k = ∫ e k - 1 k d k = 1 e ∫ e k k d k .

Então, sejam u = 1 k e e k - 1 d x = d v .

u = 1 k                 →       d u = - k - 2 d k e k d k = d v           →   e k   = v

Assim, vamos ter que

1 e ∫ e k k d k = 1 e . e k k - 1 e ∫ - e k k 2 d k

e k - 1 k + ∫ e k - 1 k 2 d k

Galeraaaaa, para tudo!!! Volta pro passo 1....

∫ ( k - 1 ) e k - 1 k 2 d k = ∫ k e k - 1 k 2 d k - ∫ e k - 1 k 2 d k

Se a gente substituir o resultado que obtemos ao calcular a nossa primeira integral, presta atenção no que vai acontecer.

∫ k - 1 e k - 1 k 2 d k = e k - 1 k + ∫ e k - 1 k 2 d k - ∫ e k - 1 k 2 d k

∫ k - 1 e k - 1 k 2 d k = e k - 1 k

Nem precisamos calcular – ∫ e k - 1 k 2 d k   , porque ele se cancelou com ∫ e k - 1 k 2 d k . Vivaaaa!!!!

Passo 3

Então, o último passo é voltar para a nossa variável original: o x .

Assim, vamos ter que

e k - 1 k = e x x + 1

Resposta

e x x + 1

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