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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 26

1-38 Calcule a integral.

26. int (x e^x)/((x + 1)^2) d x

Passo 1

Galeraaaa,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l -> f u n ç õ e s l o g a r í t m i c a s

i -> i n v e r s a s t r i g o n o m é t r i c a s

a -> f u n ç õ e s a l g é b r i c a s

t -> f u n ç õ e s t r i g o n o m é t r i c a s

e -> f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Mas antes, é melhor a gente fazer uma substituição pra facilitar a nossa vida. Olha só, vamos chamar k = x + 1 .

Daí, vamos ter que

k - 1 = x -> d k = d x

Assim, a nossa nova integral será dada por

int (( k - 1 ) e^(k - 1))/(k^2) d k = int (k e^(k - 1))/(k^2) d k - int (e^(k - 1))/(k^2) d k

Passo 2

Agora simmmm!!! Partiu integrar!!!!

Vamos começar por int (k e^(k - 1))/(k^2) d k = int (e^(k - 1))/(k) d k = (1)/(e) int (e^k)/(k) d k .

Então, sejam u = (1)/(k) e e^(k - 1) d x = d v .

{[[u = (1)/(k) -> d u = - k^(- 2) d k],[e^k d k = d v -> e^k = v]])

Assim, vamos ter que

(1)/(e) int (e^k)/(k) d k = (1)/(e) . (e^k)/(k) - (1)/(e) int - (e^k)/(k^2) d k

(e^(k - 1))/(k) + int (e^(k - 1))/(k^2) d k

Galeraaaaa, para tudo!!! Volta pro passo 1....

int (( k - 1 ) e^(k - 1))/(k^2) d k = int (k e^(k - 1))/(k^2) d k - int (e^(k - 1))/(k^2) d k

Se a gente substituir o resultado que obtemos ao calcular a nossa primeira integral, presta atenção no que vai acontecer.

int ((k - 1) e^(k - 1))/(k^2) d k = (e^(k - 1))/(k) + int (e^(k - 1))/(k^2) d k - int (e^(k - 1))/(k^2) d k

int ((k - 1) e^(k - 1))/(k^2) d k = (e^(k - 1))/(k)

Nem precisamos calcular – int (e^(k - 1))/(k^2) d k , porque ele se cancelou com int (e^(k - 1))/(k^2) d k . Vivaaaa!!!!

Passo 3

Então, o último passo é voltar para a nossa variável original: o x .

Assim, vamos ter que

(e^(k - 1))/(k) = (e^x)/(x + 1)

Resposta

(e^x)/(x + 1)

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