Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 17

Calcule a integral.

int a r c t g (3 x) d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int a r c t g (3 x) d x

E supondo:

u = a r c t g (3 x) e d v = d x

Conseguimos encontrar:

d u = (3)/(1 + (3 x)^2) d x = (3)/(1 + 9 x^2) d x

E:

v = int d x

Ou seja:

v = x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int a r c t g (3 x) d x = (a r c t g (3 x)) (x) - int (x) ((3)/(1 + 9 x^2)) d x

Que pode ser reescrita como:

int a r c t g (3 x) d x = x a r c t g (3 x) - 3 int (x)/(1 + 9 x^2) d x

Passo 4

A integral do lado direito da equação pode ser resolvida pelo método da substituição u , usando u = 1 + 9 x^2 , tal que d u = 1 8 x d x . Logo, ela será dada por:

int (x)/(1 + 9 x^2) d x = int (1)/(u) ((d u)/(1 8)) = (1)/(1 8) int (1)/(u) d u

E então:

int (x)/(1 + 9 x^2) d x = (1)/(18) (ln u)

Substituindo para a variável de origem:

int (x)/(1 + 9 x^2) d x = (1)/(18) ln (1 + 9 x^2)

Passo 5

Portanto, a integral terá como resultado:

int a r c t g (3 x) d x = x a r c t g (3 x) - 3 ((1)/(18) ln (1 + 9 x^2)) + C

Portanto, o resultado final é:

int a r c t g (3 x) d x = x a r c t g (3 x) - (1)/(6) ln (1 + 9 x^2) + C

Resposta

int a r c t g (3 x) d x = x a r c t g (3 x) - (1)/(6) ln (1 + 9 x^2) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral :int (x)/(1 + sqrt(x)) d x
Calcule a integral :int theta cos (2 theta + 1) d theta
Calcule a integral :int (sqrt(1 - v^2))/(v^2) d v
Calcule a integralint x^3 * e^(x^2) d x
Calcule a integralint (t g^(- 1) (x))/(x^2) d x