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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 35

1-38 Calcule a integral

31- int_0^(pi) x s e n 2 x d x

Passo 1

E aí ? Prontos pra resolver mais uma integral ??? Eu espero que a sua resposta seja simmmm, mas independente disso, vamos ao trabalho

Caraaa, quando você vê esse tipo de integral uma coisa tem que vir logo na sua cabeça:

LIATE

Whattt ???

Esse é o macete que a gente usa pra escolher o u (da integral por partes, lembra ??? Alguém tem que ser o u e o outro vai ser o d v .)

Tudo bem.... Mas o que significa essa abreviação ???

(logarítima > inversa trigonométrica > algébrica > trigonométrica > exponencial)

Essa é a ordem de prioridade das funções candidatas a serem o u , oK ?

Passo 2

Bom, nesse caso a prioridade é da função logarítmica. Dessa forma,

u = x

d v = s e n 2 x d x

Agora, nós precisamos encontrar o d u e o v :

u = x

Derivando:

d u = d x

E

d v = s e n 2 x d x

Fazendo a integral:

int d v = int s e n 2 x d x

Vamos fazer uma substituição:

2 x = w

2 d x = d w

d x = (d w)/(2)

int s e n 2 x d x = (1)/(2) int s e n w d w = - (1)/(2) cos 2 x

v = - (1)/(2) cos 2 x

Passo 3

Gente, além do LIATE, nós temos que lembrar da regrinha da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Aplicando os nossos termos na equação, temos:

int u d v = - (x)/(2) xx cos 2 x - int ( - cos 2 x ) // 2 d x

int u d v = - (x)/(2) xx cos 2 x - int (- s e n 2 x)/(4) d x

Galera, nós só não podemos nos iludir achando que a questão acabou por aqui, lembrem-se que essa é um integral definida. Dessa forma,

int_0^(pi) u d v = - ((x)/(2) xx cos 2 x|_0^(pi) - (((- s e n 2 x)/(4))|_0^(pi)

int_0^(pi) u d v = - (pi)/(2)

Resposta

- (pi)/(2)

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