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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 67

67. A função de Fresnel S x = ∫ 0 x sin ⁡ 1 2 π t 2 d t foi discutida no Exemplo 3 da Seção 5.3 e é usada extensivamente na teoria óptica. Encontre ∫ S x d x . [Sua resposta envolverá S x ]

Passo 1

Show de bolinhas galera, essa questão tem a cara feia, mas se ela é mau, a gente é mau também

Saca só, a gente quer encontrar:

∫ S x d x

Mas se formos calcular essa integral normalmente, teríamos:

∫ ∫ 0 x sin ⁡ 1 2 π t 2 d t   d x

Mas calma lá meu patrão, porque com toda sagacidade do mundo sabemos que a integração por partes, diz pra gente que:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E é ai que começa a malandragem.

Passo 2

Como não conseguimos integrar S ( x ) , bora chamar ela de u e d x de d v , logo temos

u = S x = ∫ 0 x sin ⁡ 1 2 π t 2 d t

Aplicando o TFC, descobrimos que:

d u = sin ⁡ 1 2 π x 2

E para d v , temos:

d x = d v

x = v

Substituindo então na integração por partes, temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ S x d x = S x . x - ∫ x sin ⁡ 1 2 π x 2   d x

Passo 3

Agora começou a ficar bonito, podemos resolver a última parte daquela integração por partes, através da substituição simples, saca só:

∫ x sin ⁡ 1 2 π x 2   d x

u = 1 2 π x 2

d u = π x   d x ⇒ d x = d u π x

∫ x sin ⁡ 1 2 π x 2   d x = ∫ x sin ⁡ u d u π x

1 𝜋 ∫ sin ⁡ 𝑢   𝑑 𝑢 = − 1 𝜋 cos ⁡ 𝑢

= − 1 𝜋 cos ⁡ 1 2 𝜋 𝑥 2

Portanto temos que:

∫ S x d x = S x . x - ∫ x sin ⁡ 1 2 π x 2   d x

∫ 𝑆 𝑥 𝑑 𝑥 = 𝑥 𝑆 𝑥 + 1 𝜋 cos ⁡ 1 2 𝜋 𝑥 2

Resposta

∫ 𝑆 𝑥 𝑑 𝑥 = 𝑥 𝑆 𝑥 + 1 𝜋 cos ⁡ 1 2 𝜋 𝑥 2

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