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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 13

Calcule a integral:

int t cos sec^2 t d t

Passo 1

Faaala ae, beleza?? Bora resolver essa integral!

Então, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar, então, a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

[[d,v,=,cos sec^2 t,d,t,v,=,,?],[u,=,t,d,u,=,,?]]

Como escolhemos isso?? Pelo macete do LIATE! Que seria para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,cos sec^2 t,d,t,v,=,int cos sec^2 t d t =,-,cot t,+,C],[u,=,t,d,u,=,,1,d,t]]

Devemos lembrar que (cot t)^' = - cos sec^2 t . A primitiva que precisávamos para achar v .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace t) underset(d v)(ubrace cos sec^2 t d t) = underset(u)(ubrace t) underset(v)(ubrace (- cot t)) - int underset(v)(ubrace - cot t) underset(d u)(ubrace 1 d t)

int t cos sec^2 t d t = - t cot t + int cot t d t

Passo 4

Vamos precisar achar a integral int cot t d t = int (cos t)/(sen t) d t . Para isso, vamos efetuar a seguinte substituição:

[[u,=,s en t],[d,u,=,co s t,d,t,,->,(d u)/(cos t),=,d,t]]

A integral na variável u será uma integral imediata:

int cot t d t = int (cos t)/(u) (d u)/(cos t) =

= int (1)/(u) d u =

= ln |u| + C = ln |s en t| + C

Pronto.

Passo 5

Agora substituímos o resultado em:

int t cossec^2 t d t = - t cot t + int cot t d t

= - t cot t + ln |sen t| + C

Não pode esquecer da constante.

Prontinho!! Acabamos! 😊

Resposta

int t cossec^2 t d t = - t cot t + ln |sen t| + C

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