Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 64
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados.
Passo 1
Show de bicicletinhas galeris, como temos uma rotação em torno do eixo , quer dizer que o raio da nossa casca é o próprio valor de . E além disso, a altura dessa casca será o valor de , dado por . Logo, o volume será dado pela integral
Como nossa integral é em relação a , nosso limite de integração também será, e a reta , é a responsável por nos ajudar a definir esses limites.
Dessa forma nosso limite de integração é de até . E nosso volume é dado por:
Passo 2
Bora usar a integração por partes para resolver essa coisinha mais linda do mundo então, vamos chamar de e de . A integração por partes diz pra gente que:
Então:
Passo 3
Agora podemos substituir os limites no resultado:
Resposta
.