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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 64

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados.

y = e x ,   x = 0 ,   y = 3 ; e m   t o r n o   d o   e i x o   x

Passo 1

Show de bicicletinhas galeris, como temos uma rotação em torno do eixo x , quer dizer que o raio da nossa casca é o próprio valor de x . E além disso, a altura dessa casca será o valor de y , dado por y = e x . Logo, o volume será dado pela integral

V = ∫     2 π x e x d x

Como nossa integral é em relação a x , nosso limite de integração também será, e a reta y = 3 , é a responsável por nos ajudar a definir esses limites.

y = e x = 3

x = ln ⁡ 3

Dessa forma nosso limite de integração é de x = 0 até x = ln ⁡ 3 . E nosso volume é dado por:

V = 2 π ∫ 0   ln ⁡ 3   x e x d x

Passo 2

Bora usar a integração por partes para resolver essa coisinha mais linda do mundo então, vamos chamar x de u e e x de d v . A integração por partes diz pra gente que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então:

∫ x e x d x = x e x - ∫ e x

∫ x e x d x = x e x - e x

Passo 3

Agora podemos substituir os limites no resultado:

V = 2 π ∫ 0   ln ⁡ 3   x e x d x = 2 π x e x - e x 0 ln ⁡ 3

2 π ln ⁡ 3 e ln ⁡ 3 - e ln ⁡ 3 - 0 e 0 - e 0 = 2 π 3 ln ⁡ 3 - 3 + 1 = 2 π ln ⁡ 3 ³ - 2

⇒ 2 π ln ⁡ 27 - 2

Resposta

V = 2 π ln ⁡ 27 - 2 .

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