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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 26

Calcule a integral.

int_4^9 (ln y)/(sqrt(y)) d y

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando a técnica de integração por partes. Relembrando, temos que

int u d v = u v - int v d u

Antes de aplicarmos a técnica, vamos reescrever a integral:

int_4^9 (ln y)/(sqrt(y)) d y = int_4^9 ln y y^(- 1 // 2) d y

Identificando u = ln y => d u = d y // y e d v = y^(- 1 // 2) d y => v = 2 y^(1 // 2) . Assim, a integral fica

int_4^9 (ln y)/(sqrt(y)) d y = [2 sqrt(y) ln y]_4^9 - 2 int_4^9 (y^(1 // 2))/(y) d y

Passo 2

Assim, temos que

int_4^9 (ln y)/(sqrt(y)) d y = 6 ln 9 - 4 ln 4 - 2 int_4^9 y^(- 1 // 2) d y

Passo 3

Calculando a última primitiva:

int_4^9 (ln y)/(sqrt(y)) d y = 6 ln 9 - 4 ln 4 - 4 [sqrt(y)]_4^9 = 6 ln 9 - 4 ln 4 - 4 (3 - 2) = 6 ln 9 - 4 ln 4 - 4

Resposta

6 ln 9 - 4 ln 4 - 4

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