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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 18

Calcule a integral:

int s 2^s d s

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e exponencial) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

[[d,v,=,2^s,d,s,v,=,,?],[u,=,s,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,2^s,d,s,v,=,int 2^s d s =,(2^s)/(ln 2),+,C],[u,=,s,d,u,=,,1,d,s]]

Devemos lembrar que ((2^s)/(ln 2))^' = (2^s * ln 2)/(ln 2) = 2^s . A primitiva que precisávamos para achar v .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace s) underset(d v)(ubrace 2^s d s) = underset(u)(ubrace s) underset(v)(ubrace ((2^s)/(ln 2))) - int underset(v)(ubrace (2^s)/(ln 2)) underset(d u)(ubrace 1 d s)

int s 2^s d s = (s 2^s)/(ln 2) - (1)/(ln 2) int 2^s d s = (s 2^s)/(ln 2) - (1)/(ln 2) ((2^s)/(ln 2)) + C

int s 2^s d s = (s 2^s)/(ln 2) - (2^s)/((ln 2)^2) + C

Resposta

int s 2^s d s = (s 2^s)/(ln 2) - (2^s)/((ln 2)^2) + C

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