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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 37

1-38 Calcule a integral

37- int_1^3 sqrt(x) arctg sqrt(x) d x

Passo 1

E aí ? Prontos pra resolver mais uma integral ??? Eu espero que a sua resposta seja simmmm, mas independente disso, vamos ao trabalho

Caraaa, quando você vê esse tipo de integral uma coisa tem que vir logo na sua cabeça:

LIATE

Whattt ???

Esse é o macete que a gente usa pra escolher o u (da integral por partes, lembra ??? Alguém tem que ser o u e o outro vai ser o d v .)

Tudo bem.... Mas o que significa essa abreviação ???

(logarítima > inversa trigonométrica > algébrica > trigonométrica > exponencial)

Essa é a ordem de prioridade das funções candidatas a serem o u , oK ?

Passo 2

Bom, nesse caso a prioridade é da função inversa trigonométrica. Dessa forma,

u = a r c t g sqrt(x)

d v = sqrt(x) d x

Agora, nós precisamos encontrar o d u e o v :

u = a r c t g sqrt(x)

Derivando:

d u = (1)/((sqrt(x))^2 + 1) xx (1)/(2 sqrt(x))

E

d v = sqrt(x) d x

Fazendo a integral:

int d v = int sqrt(x) d x

int sqrt(x) d x = ((x^((3)/(2)))/(3))/(2) = (2)/(3) x^((3)/(2))

v = (2)/(3) x^((3)/(2))

Passo 3

Gente, além do LIATE, nós temos que lembrar da regrinha da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Aplicando os nossos termos na equação, temos:

int u d v = (2)/(3) x^((3)/(2)) xx a r c t g sqrt(x) - (2)/(3) int x^((3)/(2)) xx (1)/((sqrt(x))^2 + 1) xx (1)/(2 sqrt(x)) d x

Resolvendo a integral:

(1)/(2) int (x)/(x + 1) d x

(1)/(2) int (x + 1 - 1)/(x + 1) d x

(1)/(2) ( int 1 d x - int (1)/(x + 1) d x )

(x)/(2) - (ln (x + 1))/(2)

Assim,

int u d v = (2)/(3) ( x^((3)/(2)) xx a r c t g sqrt(x) - (x)/(2) + (ln (x + 1))/(2) )

Galera, nós só não podemos nos iludir achando que a questão acabou por aqui, lembrem-se que essa é um integral definida. Dessa forma,

int_1^3 sqrt(x) arctg sqrt(x) d x = (2)/(3) ( (x^((3)/(2)) xx a r c t g sqrt(x)|_1^3 - ((x)/(2) + (ln (x + 1))/(2)|_1^3 )

int_1^3 sqrt(x) arctg sqrt(x) d x = (1)/(3) ( 2 sqrt(3 pi) - (pi)/(2) - 2 + l n 2 )

Resposta

(1)/(3) ( 2 sqrt(3 pi) - (pi)/(2) - 2 + l n 2 )

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