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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 33

1-38 Calcule a integral

33- int_2^4 a r c s e c sqrt(theta) d theta

Passo 1

E aí ? Prontos pra resolver mais uma integral ??? Eu espero que a sua resposta seja simmmm, mas independente disso, vamos ao trabalho

Caraaa, quando você vê esse tipo de integral uma coisa tem que vir logo na sua cabeça:

LIATE

Whattt ???

Esse é o macete que a gente usa pra escolher o u (da integral por partes, lembra ??? Alguém tem que ser o u e o outro vai ser o d v .)

Tudo bem.... Mas o que significa essa abreviação ???

(logarítima > inversa trigonométrica > algébrica > trigonométrica > exponencial)

Essa é a ordem de prioridade das funções candidatas a serem o u , oK ?

Passo 2

Gente, antes de começarmos a integral de fato vamos fazer uma substituição só pra ficar mais fácil:

w = sqrt(theta)

d w = (1)/(2 sqrt(theta)) d theta = (1)/(2 w) d theta

Assim,

2 int_2^4 w a r c s e c w d w

Nesse caso a prioridade é da função inversa trigonométrica. Dessa forma,

u = a r c s e c w

d v = w d w

Agora, nós precisamos encontrar o d u e o v :

u = a r c s e c w

Derivando:

d u = (1)/(w sqrt(w^2 - 1)) d w

E

d v = w d w

Fazendo a integral:

int d v = int w d w

int w d w = (w^2)/(2)

v = (w^2)/(2)

Passo 3

Gente, além do LIATE, nós temos que lembrar da regrinha da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Aplicando os nossos termos na equação, temos:

2 int u d v = 2 (a r c s e n w xx (w^2)/(2) - int (w^2)/(2) xx (1)/(w sqrt(w^2 - 1)) d w) =

2 int u d v = a r c s e n w xx w^2 - int w^2 xx (1)/(w sqrt(w^2 - 1)) d w

Bora resolver essa integral, força guerreiros !!!

int (w)/(sqrt(w^2 - 1)) d w

Vamos fazer uma substituição:

w^2 - 1 = z

2 w d w = d z

w d w = d z

Assim,

(1)/(2) int (1)/(sqrt(z)) d z = (1)/(2) sqrt(z) xx 2 = sqrt(z) = sqrt(w^2 - 1)

Consequentemente,

2 int u d v = a r c s e c w xx w^2 - sqrt(w^2 - 1)

Desfazendo a substituição:

int_2^4 a r c s e c sqrt(theta) d theta = (x a r c e c sqrt(x)|_2^4 - (sqrt(x - 1)|_2^4

= (5 pi)/(6) - sqrt(3) + 1

Resposta

(5 pi)/(6) - sqrt(3) + 1

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