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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.6 - Ex. 19

Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral

∫ sin 2 ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar a tabela de integrais presente no final do livro para resolver a integral. Assim, não utilizaremos diretamente as técnicas de integração conhecidas, pois na tabela temos a relação conhecida para resolver a integral da questão.

Passo 2

Primeiramente, iremos aplicar a seguinte substituição

u = sin ⁡ x ; d u = cos ⁡ x d x

∫ sin 2 ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x d x = ∫ u 2 ln ⁡ u d u

Passo 3

Utilizando a entrada 101 da tabela, podemos resolver a integral

∫ u 2 ln ⁡ u d u = u 2 + 1 2 + 1 2 2 + 1 ln ⁡ u - 1 + C

Voltando para x , temos

u 2 + 1 2 + 1 2 2 + 1 ln ⁡ u - 1 + C = sin 3 ⁡ x 3 2 3 ln ⁡ sin ⁡ x - 1 + C

Resposta

∫ sin 2 ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x d x = sin 3 ⁡ x 9 3 ln ⁡ sin ⁡ x - 1 + C

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Verifique que, para todo natural n != 0 , tem-se:a ) int sen^n x d x = - (1)/(n) sen^(n - 1) x cos x + (n - 1)/(n) int sen^(n - 2) x d x
Calcule int e^(- s t) sin t d t ; s0 constante.
Verifique que:int sec^n x d x = (1)/(n - 1) sec^(n - 2) x tan x + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x Onde n1 é um naturalCalcule int sec^5 x d x
Suponha que g tenha derivada contínua em [ 0 , + ∞ [ e que g 0 = 0 . Verifique que: ∫ 0 x g ´ t e - s t d t = g x e - s x + s ∫ 0 x g t e - s t d t
Sejam men dois naturais diferentes de zero. Verifique que: ∫ 0 1 x n 1 - x m d x = m n + 1 ∫ 0 1 x n + 1 1 + x m - 1 d x