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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 14

14. Encontre os coeficientes para as séries em cossenos e em senos descritas no Exemplo 2.

Passo 1

Fala galera!!!

A equação fornecida pelo exemplo 2 é a seguinte:

f x = 1 - x 0       0 < x ≤ 1 1 < x ≤ 2

Queremos encontrar os coeficientes a n e b n para as series em cosseno e seno das extensões par e impar para um período 2 L da função f x .

Passo 2

Agora, vamos calcular o coeficiente a n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x                           n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

Passo 3

Então, temos que a n é o seguinte:

a n = 2 2 ∫ 0 2 f x cos ⁡ n π x 2 d x

a n = ∫ 0 1 1 - x cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 0 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = ∫ 0 1 1 - x cos ⁡ n π x 2 d x

a n = ∫ 0 1 cos ⁡ n π x 2 d x - ∫ 0 1 x cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 2 n π sen ⁡ n π x 2 0 1 - 2 x n π sen ⁡ n π x 2 + 2 n π 2 cos ⁡ n π x 2 0 1

a n = 2 n π sen ⁡ n π 2 - 2 n π sen ⁡ n π 2 + 2 n π 2 cos ⁡ n π 2 - 2 n π 2

a n = 2 n π sen ⁡ n π 2 - 2 n π sen ⁡ n π 2 - 2 n π 2 cos ⁡ n π 2 + 2 n π 2

a n = - 2 n π 2 cos ⁡ n π 2 + 2 n π 2

a n = 2 n π 2 1 - cos ⁡ n π 2

Passo 4

Podemos calcular a 0 da seguinte maneira:

a 0 = 2 2 ∫ 0 2 f x d x

a 0 = ∫ 0 1 1 - x d x + ∫ 1 2 0 d x

a 0 = ∫ 0 1 1 - x d x

a 0 = x - x 2 2 0 1 = 1 2

Passo 5

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 2, temos que a série de Fourier para um a extensão par de f x é a seguinte:

f x = 1 4 + ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 π 2 1 - cos ⁡ n π 2 cos ⁡ n π x L

Passo 6

Agora, vamos calcular o coeficiente b n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x                           n = 1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

Passo 7

Então, temos que b n é o seguinte:

b n = 2 2 ∫ 0 2 f x sen ⁡ n π x 2 d x

b n = ∫ 0 1 1 - x sen ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 0 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = ∫ 0 1 1 - x sen ⁡ n π x 2 d x

b n = ∫ 0 1 sen ⁡ n π x 2 d x - ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x

b n = - 2 n π cos ⁡ n π x 2 0 1 - - 2 x n π cos ⁡ n π x 2 + 2 n π 2 sen ⁡ n π x 2 0 1

b n = - 2 n π cos ⁡ n π 2 + 2 n π - - 2 n π cos ⁡ n π 2 + 2 n π 2 sen ⁡ n π 2

b n = - 2 n π cos ⁡ n π 2 + 2 n π + 2 n π cos ⁡ n π 2 - 2 n π 2 sen ⁡ n π 2

b n = 2 n π - 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2

b n = 2 n π - 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2

Passo 8

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 6, temos que a série de Fourier para um a extensão impar de f x é a seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 π 2 n π - 4 sen ⁡ n π 2 sen ⁡ n π x L

Resposta

Para a série de Fourier para um a extensão par de f x :

f x = 1 4 + ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 π 2 1 - cos ⁡ n π 2 cos ⁡ n π x L

Para a série de Fourier para um a extensão impar de f x :

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 π 2 n π - 4 sen ⁡ n π 2 sen ⁡ n π x L

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34. Seja F x = ∫ 0 x f t d t . Mostre que, se f for par, então F será ímpar, e que, se f for ímpar, F será par.
Em cada um dos problemas de 27 a 30, é dada uma função em um intervalo 0xL .(a) Esboce os gráficos da extensão periódica par g x e da extensão periódica ímpar h x da função dada, ambas com período 2 L
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