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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 17

Em cada um dos problemas de 15 a 22:

(a) Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

17.

f x = 1 ,             0 ≥ x ≥ π       s é r i e   e m   c o s s e n o s ,   p e r í o d o   2 π

Passo 1

(a) Fala galera!!!

A equação fornecida é a seguinte:

f x = 1 ,           0 ≥ x ≥ π

Queremos encontrar a série de Fourier para cossenos e esboçar o gráfico da função. Assim, precisamos encontrar os coeficientes a 0 e a n para a extensão par de período 2 L da função f x .

Passo 2

Agora, vamos calcular os coeficientes a 0 e a n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

a 0 = 2 L ∫ 0 L f x d x

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x                           n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

Para este caso, L = π .

Passo 3

Podemos calcular a 0 da seguinte maneira:

a 0 = 2 π ∫ 0 π f x d x

a 0 = 2 π ∫ 0 π 1 d x

a 0 = 2 π ∫ 0 π d x

a 0 = 2 π x 0 π = 2 π π = 2

Passo 4

Então, temos que a n é o seguinte:

a n = 2 π ∫ 0 π f x cos ⁡ n π x π d x

a n = 2 π ∫ 0 π 1 cos ⁡ n x d x

a n = 2 π ∫ 0 π cos ⁡ n x d x

a n = 2 π 1 n sen ⁡ n x 0 π

a n = 2 n π sen ⁡ π x

Passo 5

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 2, temos que a série de Fourier para um a extensão par de f x é a seguinte:

f x = 2 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 n π sen ⁡ π x cos ⁡ n π x π

f x = 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 n π sen ⁡ π x cos ⁡ n x

Vamos abrir a série da seguinte maneira:

f x = 1 + 2 π sen ⁡ π cos ⁡ x + 2 2 π sen ⁡ 2 π cos ⁡ 2 x + 2 3 π sen ⁡ 3 π cos ⁡ 3 x + 2 4 π sen ⁡ 4 π cos ⁡ 4 π + 2 5 π sen ⁡ 5 π cos ⁡ 5 π + …

Temos que seno de π , 2 π , 3 π , … são zero. Assim:

f x = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + …

f x = 1

Podemos perceber que a serie ela muda de negativo para positivo e temo apenar temos impares. Assim, podemos rescrever a somatório da seguinte maneira:

f x = 1

Resposta

f x = 1

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