Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 34
34. Seja . Mostre que, se for par, então será ímpar, e que, se for ímpar, será par.
Passo 1
Fala galera!!!
Vamos considerar a seguinte integral:
Nosso objetivo é provar que é uma função ímpar, quando é uma função par. E é função par, quando é uma função ímpar.
Para resolver essa questão, é bom lembrar que se para a função se comportar , então, é uma função par. E se para a função se comportar , então, é uma função ímpar.
Passo 2
Vamos supor que seja uma função par. Isso implica que . Vamos também considerar a seguinte expressão:
Podemos dizer o seguinte:
Agora, vamos diferenciar os dois lados da relação acima, em relação a .
Temos que quando implica que . Quando implica que . Então, substituindo e variando de ate . A integral se torna a seguinte:
Substituindo a variável por temos o seguinte:
Como nós consideramos sendo uma função par. Então:
Pela suposição feita no enunciado, temos que:
Portanto, temos que é uma função ímpar.
Passo 3
Vamos supor que seja uma função ímpar. Isso implica que . Vamos também considerar a seguinte expressão:
Podemos dizer o seguinte:
Agora, vamos diferenciar os dois lados da relação acima, em relação a .
Temos que quando implica que . Quando implica que . Então, substituindo e variando de ate . A integral se torna a seguinte:
Substituindo a variável por temos o seguinte:
Como nós consideramos sendo uma função ímpar. Então:
Pela suposição feita no enunciado, temos que:
Portanto, temos que é uma função par.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)