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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 25

Em cada um dos problemas de 23 a 26:

(a) Encontre a série de Fourier indicada na função dada.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

(c) Faça o gráfico de uma ou mais somas parciais da série.

24.

f x = 2 - x 2 ,         0 < x < 2       s é r i e   e m   s e n o s ,   p e r í o d o   4  

Passo 1

(a) Fala galera!!!

A equação fornecida é a seguinte:

f x = 2 - x 2 ,         0 < x < 2

Queremos encontrar a série de Fourier para senos e esboçar o gráfico da função. Assim, precisamos encontrar o coeficiente b n para a extensão impar de período 2 L da função f x .

Passo 2

Agora, vamos calcular o coeficiente b n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x                           n = 1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

Para este caso, L = 2 .

Passo 3

Agora, vamos calcular b n . Assim temos que:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 2 2 ∫ 0 2 2 - x 2 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = 2 ∫ 0 2 sen ⁡ n π x 2 d x - ∫ 0 2 x 2 sen ⁡ n π x 2 d x

Por integração por partes, temos que:

b n = 2 - 2 n π cos ⁡ n π x 2 0 2 - - 2 x 2 n π cos ⁡ n π x 2 + 8 x n 2 π 2 sen ⁡ n π x 2 + 16 n 3 π 3 cos ⁡ n π x 2 0 2

b n = - 4 n π cos ⁡ n π - - 4 n π cos ⁡ 0 - - 2 2 2 n π cos ⁡ n π + 8 2 n 2 π 2 sen ⁡ n π + 16 n 3 π 3 cos ⁡ n π - - 2 0 2 n π cos ⁡ 0 + 8 0 n 2 π 2 sen ⁡ 0 + 16 n 3 π 3 cos ⁡ 0

Temos que sen ⁡ 0 = 0 e que sen ⁡ n π sempre será 0 e que cos ⁡ 0 = 1 . Assim temos que:

b n = - 4 n π cos ⁡ n π - - 4 n π - - 8 n π cos ⁡ n π + 16 n 3 π 3 cos ⁡ n π - 16 n 3 π 3

b n = 4 n π - 4 n π cos ⁡ n π + 8 n π cos ⁡ n π - 16 n 3 π 3 cos ⁡ n π + 16 n 3 π 3

b n = 4 n π + 4 n π cos ⁡ n π + 16 n 3 π 3 - 16 n 3 π 3 cos ⁡ n π

b n = 4 n π 1 + cos ⁡ n π + 16 n 3 π 3 1 - cos ⁡ n π

Temos que cos ⁡ n π será - 1 quando para números impares e 1 para números pares, então, podemos escrever b n da seguinte maneira:

b n = 4 n π 1 + - 1 n + 16 n 3 π 3 1 - - 1 n

Passo 4

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 2, temos que a série de Fourier para um a extensão par de f x é a seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 n π 1 + - 1 n + 16 n 3 π 3 1 - - 1 n sen ⁡ n π x 2

Passo 5

(b) Podemos esboçar o gráfico da função para a qual a série converge da seguinte maneira:

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 n π 1 + - 1 n + 16 n 3 π 3 1 - - 1 n sen ⁡ n π x 2

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