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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 35

  1. Mostre que, se f e g   forem função para as quais

    2. f ' x = g x       e   g ' x = - f x

    Em cada x , então f 2 x + g 2 ( x ) é uma constante.

  2. De exemplo de funções f e g com essa propriedade.

Passo 1

  1. Devemos primeiramente diferenciar a função :

    2. h x = f 2 x + g 2 x

    h ' = 2 f ' x f x + 2 g ' x g x

    Substituindo f ' x = g x       e   g ' x = - f x

    h ' = 2 f ' x f x + 2 f ' x . - f x = 0

    h ' = 0

    O livro diz que se:

    F ' x = f ' x - g ' x = 0

    É constante no intervalo pois tem o mesmo valor em pontos arbitrários, e portanto, são constantes.

    De modo que a equação é constante.

    Aplicando o teorma da diferenciação constante, existe uma constante k , tal que :

    f 2 x + g 2 x = k

    Passo 2

  2. O primeiro passo para provar que as funções f x e g ( x ) tem essa propriedade, devemos diferenciar as duas funções.

As funções escolhidas são f x = s e n x e g x = c o s x .

Diferenciando ambas as funções:

f ' = c o s x = g ( x )

g ' = - s e n x = - f ( x )

Agora, queremos provar que:

f 2 x + g 2 x = k

f 2 x + g 2 x = - s e n x 2 + cos ⁡ x 2

f 2 x + g 2 x = s e n x 2 + cos ⁡ x 2 = 1

f 2 x + g 2 x = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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