Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 27
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados
Exercício 39
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!
O enunciado cita pra gente o exercício 39:
“Determine os pontos da superfície que estão mais próximos da origem.”
E nos pede para resolvê-lo usando o método dos multiplicadores de Lagrange! Mas o que exatamente é isso?
O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função sujeitos à uma restrição nós podemos usar a seguinte fórmula
Onde é o nosso multiplicador de Lagrange!
Assim, definindo o gradiente da função e da restrição, nós podemos procurar por valores de e que satisfaçam essa expressão!
E dessa forma, a superfície proposta no enunciado é a nossa restrição!
Ou ainda
Mas qual é a função que estamos tentando maximizar/minimizar?
O enunciado nos diz “mais próximo da origem” então nós queremos minimizar uma função que descreve a distância do ponto até a origem!
E essa distância pode ser dada por
Mas se minimizarmos nós também estamos minimizando ! De forma que a função será
Passo 2
Para montarmos a nossa expressão do multiplicador de Lagrange, precisamos primeiramente encontrar os gradientes e ! Como o gradiente nada mais é que o conjunto das derivadas parciais, nós teremos:
Para
De forma que
Para
De forma que
Ou ainda
Passo 3
Agora que temos todos os termos da expressão, podemos escrever
Agora vamos analisar cada uma das igualdades!
Da expressão, temos que
Onde obtemos
Além disso, um dos valores de que torna essa igualdade possível é ! Dessa forma, nas próximas análises podemos considerar e !
Ora, mas se , então da restrição nós temos que
Ou ainda
Vamos manter essa relação em mente por enquanto.
Novamente, da expressão também obtemos as igualdades
Assumindo na primeira relação, temos
De forma que
Analogamente, temos o seguinte para a segunda relação
Igualando , obtemos
Logo
E como
Temos
Então aqui achamos os pontos de interesse
e
Passo 4
Uma das condições que precisamos atender para poder usar a fórmula do multiplicador de Lagrange é que ! Como supomos anteriormente nós precisávamos que e fossem diferentes de , mas agora vamos testar justamente isso!
Da restrição, para temos
Mas ora, também temos que
E como descobrimos antes que , para que essa igualdade seja verdadeira temos que
De forma que agora temos os seguintes pontos de interesse
e
Passo 5
A equação nos deu os pontos de interesse, agora só precisamos aplicar na fórmula para encontrar qual desse é o valor mínimo!
De forma que temos
Logo
são os pontos mais pertos da origem.