Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 12

Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x

Passo 1

E aí, amigos! Tudo tranquilo?

Vamos lá, temos que resolver a integral

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x

que é uma integral dupla. A gente tem que integrar primeiro em y e depois em x , porque d x vem antes que vem antes que d y . É a mesma coisa que

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x

Ou seja, calculamos primeiro a “de dentro”, depois a de fora.

Para resolver essa integral precisamos usar o método da substituição, que simplifica bastante o cálculo de integrais mais complexas.

Bora pra resolução!

Passo 2

Então a gente pode resolver separadamente, começando por

∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y

Lembrando que nessa integral o x é constante, então podemos retirar para fora da integral:

x ∫ 0 1 y x 2 + y 2 + 1 d y

Para resolver essa integral precisamos usar a substituição. Vamos chamar x 2 + y 2 + 1 de u :

u = x 2 + y 2 + 1

Então d u será a derivada de u (lembra que x é constante): d u = 2 y   d y d u 2 = y   d y

Então substituindo u e d u na nossa integral, ficamos com:

x ∫ 0 1 y x 2 + y 2 + 1 d y = x 2 ∫ 1 u   d u

A gente já já coloca os limites de volta. Vamos nos concentrar agora em resolver integral:

x 2 ∫ 1 u   d u = x 2 ∫ u - 1 2   d u

Resolvendo a integral:

x 2 ∫ u - 1 2   d u = x 2 ⋅ 2 ⋅ u 1 2

Simplificando:

x 2 ∫ u - 1 2   d u = x ⋅ u 1 2

Agora voltando da substituição para nossas variáveis originais. Como u = x 2 + y 2 + 1 , nosso resultado é:

x ⋅ u 1 2 = x ⋅ x 2 + y 2 + 1 1 2

Aplicando os limites de integração:

x ⋅ x 2 + y 2 + 1 0 1 = x   x 2 + 1 2 + 1 - x 2 + 0 2 + 1

Simplificando os termos:

= x x 2 + 2 - x 2 + 1 = x x 2 + 2 - x x 2 + 1

Passo 3

Beleza, calculamos a integral de dentro:

∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y = x x 2 + 2 - x x 2 + 1

Então nossa integral fica:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x

E agora nos resta a integral de fora:

∫ 0 1 x x 2 + 2 - x x 2 + 1 d x

E agora podemos integrar em x . Agora podemos reescrever a integral assim:

∫ 0 1 x x 2 + 2 - x x 2 + 1 d x = ∫ 0 1 x x 2 + 2   d x - ∫ 0 1 x x 2 + 1   d x

Agora a gente tem a subtração de duas integrais bem parecidas para resolver, vamos começar a resolver pela primeira:

∫ 0 1 x x 2 + 2   d x

Para resolver essa integral vamos fazer essa substituição, vamos chamar parte da função de u :

u = x 2 + 2  

Derivando u : d u = x x 2 + 2 d x

Olha o que aconteceu aqui, que interessante! Nosso denominador de d u é justamente aquilo que já dissemos que é d u , então, vamos substituir:

d u = x u d x u   d u = x   d x

Então, substituindo por u   e d u :

∫ 0 1 x x 2 + 2   d x = ∫ u   u   d u = ∫ u 2 d u

Resolvendo a integral:

∫ u 2 d u = u 3 3

Voltando da substituição para as variáveis originais:

u 3 3 = x 2 + 2 3 2 3

Aplicando os limites de integração:

x 2 + 2 3 2 3 0 1 = 1 3 1 2 + 2 3 2 - 0 2 + 2 3 2

Simplificando:

∫ 0 1 x x 2 + 2   d x = 1 3 3 3 2 - 2 3 2

Agora a segunda integral

∫ 0 1 x x 2 + 1   d x

Que é muito parecida com a primeira, com a diferença que aqui é x 2 + 1 e não x 2 + 2 , mas essencialmente não tem diferença na integral, pois só muda o valor da constante, então:

∫ 0 1 x x 2 + 1   d x = x 2 + 1 3 2 3 0 1

Aplicando os limites de integração:

x 2 + 1 3 2 3 0 1 = 1 3 1 2 + 1 3 2 - 0 2 + 1 3 2

∫ 0 1 x x 2 + 1   d x = 1 3 2 3 2 - 1

Então

∫ 0 1 x x 2 + 2 - x x 2 + 1 d x = 1 3 3 3 2 - 2 3 2 - 2 3 2 - 1

= 1 3 3 3 2 - 4 3 2 + 1 = 1 3 3 3 - 4 3 + 1

Então

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x = 1 3 3 3 - 4 3 + 1

Finalmente terminamos!

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 x y x 2 + y 2 + 1 d y d x = 1 3 3 3 - 4 3 + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A figura mostra o mapa de contorno de f no quadrado R = 0,4 × 0,4 .Use a Regra do Ponto Médio com m = n = 2 para estimar o valor de ∬ R f x , y d A .Estime o valor médio de f .
Seja V o volume do sólido que está abaixo do gráfico de f x , y = 52 - x 2 - y 2 e acima do retângulo dado por 2 ≤ x ≤ 4 , 2 ≤ y ≤ 6 . Usamos as retas x = 3 e y = 4 para dividir R em subretângulos. Se
Uma piscina de 8 por 12 metros está cheia de água. A profundidade é medida em intervalos de 2 metros, começando em um canto da piscina, e os valores foram registrados na tabela. Estime o volume de águ
É dada a tabela de valores de uma função f x , y definida em R = 1,3 × 0,4 .Estime ∬ R f x , y d A utilizando a Regra do Ponto Médio com m = n = 2 .Estime a integral dupla com m = n = 4 , escolhendo c
Se R = - 1 ,3 × 0 ,2 , use a soma de Riemann com m = 4 , n = 2 para estimar o valor de ∫ ∫ R y 2 - 2 x 2d A . Tome os pontos amostrais como os cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos.