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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 43

14.43. Determine o volume da maior caixa retangular com arestas paralelas aos eixos e que pode ser inscrita no elipsoide

9 x 2 + 36 y 2 + 4 z 2 = 36

Passo 1

Então sabemos que

9 x 2 + 36 y 2 + 4 z 2 = 36

Mas queremos maximizar

f x , y = x y z

Mas não podemos ter z em f x , y então vamos colocar z como uma função de x e y

4 z 2 = 36 - 9 x 2 - 36 y 2

z = 36 - 9 x 2 - 36 y 2 4 = 1 2 36 - 9 x 2 - 36 y 2

Então vamos maximizar

f x , y = x ⋅ y ⋅ 1 2 36 - 9 x 2 - 36 y 2

Passo 2

A gente tem que achar os pontos de máximo nessa função.

Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.

Vamos começar determinando nossas derivadas

f x , y = x ⋅ y ⋅ 1 2 36 - 9 x 2 - 36 y 2

Vamos derivar primeiro em relação à x . Para isso vamos usar a regra do produto. A regra do produto é a seguinte:

f x = h ' ⋅ g + h ⋅ g '

Vamos fazer

h = x y

Então

h ' = y

E

g = 36 - 9 x 2 - 36 y 2

Então

g ' = - 3 x 36 - 9 x 2 - 4 y 2 - 1 2

Agora a gente pode fazer a derivada

f x = 1 2 y 36 - 9 x 2 - 36 y 2 + x y - 3 x 36 - 9 x 2 - 4 y 2 - 1 2

Simplificando

f x = y 36 - 9 x 2 - 36 y 2 1 2 2 - 3 x 2 y 36 - 9 x 2 - 4 y 2 - 1 2 2

Simplificando

f x = 3 y 2 - x 2 - 2 y 2 4 - x 2 - 4 y 2

Agora a gente faz a derivada em relação a y , e vamos usar a mesma estratégia, regra do produto

f y = h ' ⋅ g + h ⋅ g '

Vamos fazer

h = x y

Então

h ' = x

E

g = 36 - 9 x 2 - 36 y 2

Então

g ' = - 12 y 4 - x 2 - 4 y 2 - 1 2

Agora a gente pode fazer a derivada

f y = 1 2 x 36 - 9 x 2 - 36 y 2 + x y - 12 y 4 - x 2 - 4 y 2 - 1 2

Simplificando

f y = x 1 2 - 3 x 2 - 2 4 y 2 2 4 - x 2 - 4 y 2

Passo 3

Agora vamos igualar as derivadas à 0.

f x = 3 y 2 - x 2 - 2 y 2 4 - x 2 - 4 y 2 = 0

f y = x 12 - 3 x 2 - 24 y 2 2 4 - x 2 - 4 y 2 = 0

De f x podemos tirar que, y = 0 , ou 2 - x 2 - 2 y 2 = 0 , vamos isolar x

x 2 = 2 - 2 y 2

x = 2 - 2 y 2

Agora vamos fazer isso em f y , onde só precisamos x = 0 ou que 12 - 3 x 2 - 24 y 2 = 0 , então

12 - 3 x 2 - 24 y 2 = 0

24 y 2 = 12 - 3 x 2

y = 12 - 3 x 2 24 = 4 - x 2 8

Mas x = 2 - 2 y 2 ,então

y = 4 - 2 - 2 y 2 8

y = 2 - 2 y 2 8

y 2 ⋅ 8 = 2 - 2 y 2

10 y 2 = 2

y = 2 10 = 1 5

Agora que temos o valor de y podemos achar x .

x = 2 - 2 ⋅ 1 5

x = 2 - 2 5

x = 8 5

Passo 4

Agora nós temos o par de ponto ( x , y ) então podemos achar o ponto z

z = 1 2 36 - 9 8 5 - 36 1 5

z = 6 10 5

Então o volume é

V = 2 x ⋅ 2 y ⋅ 2 z = 8   8 5 ⋅ 1 5 ⋅ 6 10 5 = 24 25 5

Resposta

x = 8 5

y = 1 5

z = 6 10 5

V = 24 25 5

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