Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 5
Determine o ponto do elipsoide que maximiza a soma .
Passo 1
Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:
Lembrando que a sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e sempre representará uma restrição na forma .
Agora, devemos resolver o sisteminha
Para achar os pontos de máximo/mínimo.
Passo 2
Vamos começar calculando o vetor :
Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor :
E pronto, já temos os gradientes!
Passo 3
Agora, vamos substituir e no sisteminha , o que nos fornece:
Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:
Agora, para resolver, o mais sensato é isolar , e nas três primeiras equações:
Substituindo isto na última equação do sisteminha, ficamos com
Rearranjando,
Ou seja, o resultado é , ou e . Temos dois pontos candidatos!
Passo 4
Agora que temos os pontos candidatos, vamos substituir e na função e ver o que que dá.
Primeiramente, claro, devemos recuperar , e através do sisteminha:
Assim, para , temos
Assim, a fica
O que significa este resultado? Ainda não sabemos! Poderia ser o máximo ou o mínimo! Devemos comparar com o valor de para para termos certeza!
Passo 5
Finalmente, para , temos
Assim, a fica
O que significa este resultado? Bem, temos claramente que . Logo, é que é o máximo! Assim, as coordenadas () do máximo são aquelas associadas a , ou seja: