Considere a forma quadrática Q(x, y) = a * x^2 + 2 * b * x * y + c * y^2 . Sejm Q(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) os valores mínimo e máximo de Q(x, y) em A = { x, y | (x, y) ∈ R^2 e x^2 + y^2 = 1 } . Prove:

  1. Se Q(x₁, y₁) > 0 , então Q(x, y) > 0 , para todo (x, y) ≠ (0, 0)
  2. Se Q(x₂, y₂) < 0 , então Q(x, y) > 0 , para todo (x, y) ≠ (0, 0)

Passo 1

Vamos mostrar primeiro o item i)

Pela definição de mínimo,

Q x 1 , y 1 ≤ Q x , y ,   ∀   x , y ≠ 0,0

Por hipótese,

0 < Q x 1 , y 1 ≤ Q x , y

Logo,

0 < Q x , y

Passo 2

Vejamos, agora o item ii)

Pela definição de máximo,

Q x 2 , y 2 ≥ Q x , y

Por hipótese,

0 > Q x 2 , y 2 ≥ Q x , y ,   ∀   x , y ≠ 0,0

Logo,

0 > Q x , y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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