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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.4 - Ex. 8

Considere a forma quadrática Q x , y = a x 2 + 2 b x y + c y 2 . Sejm Q x 1 ,   y 1 ,   Q x 2 , y 2 os valores mínimo e máximo de Q ( x , y ) em A =   x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 = 1 . Prove:

  1. Se Q x 1 ,   y 1 > 0 , então Q x , y > 0 , para todo x , y ≠ 0,0
  2. Se Q x 2 , y 2 < 0 , então Q x , y > 0 , para todo x , y ≠ 0,0

Passo 1

Vamos mostrar primeiro o item i)

Pela definição de mínimo,

Q x 1 , y 1 ≤ Q x , y ,   ∀   x , y ≠ 0,0

Por hipótese,

0 < Q x 1 , y 1 ≤ Q x , y

Logo,

0 < Q x , y

Passo 2

Vejamos, agora o item ii)

Pela definição de máximo,

Q x 2 , y 2 ≥ Q x , y

Por hipótese,

0 > Q x 2 , y 2 ≥ Q x , y ,   ∀   x , y ≠ 0,0

Logo,

0 > Q x , y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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