Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 8
Determine o ponto do plano mais próximo da origem.
Passo 1
Um enunciado mais claro para este problema seria: “Determine a menor distância de um ponto até a origem, sendo que este ponto deve estar sobre o plano dado”. Aí pronto! Matamos o enunciado!
Lembrando que a distância de um ponto à origem é dada por , em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:
Lembrando que a sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e sempre representará uma restrição na forma (no caso, o ponto DEVE estar SOBRE o plano).
Hmmmm, mas note que termos definido nos quebra as pernas, pois desse jeito teremos que derivar uma raiz quadrada e carregar ela pra sempre. Por que não definimos, melhor ? Afinal, procurar o menor é o mesmo que procurar o menor ! Espertezaaaa!
Agora, devemos resolver o sisteminha
Para achar os pontos de máximo/mínimo.
Passo 2
Vamos começar calculando o vetor :
Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor :
E pronto, já temos os gradientes!
Passo 3
Agora, vamos substituir e no sisteminha , o que nos fornece:
Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:
Agora, para resolver, o mais sensato é isolar , e nas três primeiras equações:
Substituindo isto na última equação do sisteminha, ficamos com
Ou seja, o resultado é . Obtivemos o único ponto extremo!
Passo 4
Como saímos com um único valor de , o resultado é direto: vamos recuperar , e através do sisteminha:
Assim, para , temos
Assim, as coordenadas () do mínimo são: