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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 42

14.42. Determine três números positivos x , y e z cuja a soma é 100 tal que x a y b z c seja máximo.

Passo 1

Então sabemos que

x + y + z = 100

Mas queremos maximizar as variáveis x , y e z então vamos maximizar

f x , y = x a y b z c

Mas não podemos ter z em f x , y então vamos colocar z como uma função de x e y

z = 100 - x - y

Então vamos maximizar

f x , y = x a y b 100 - x - y c

Passo 2

A gente tem que achar os pontos de máximo nessa função.

Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.

Vamos começar determinando nossas derivadas

f x , y = x a y b 100 - x - y c

Vamos derivar primeiro em relação à x . Para isso vamos usar a regra do produto. . A regra do produto é a seguinte:

f x = h ' ⋅ g + h ⋅ g '

Vamos fazer

h = x a y b

Então

h ' = a x a - 1 y b

E

g = 100 - x - y c

Então

g ' = - c 100 - x - y c - 1

Agora a gente pode fazer a derivada

f x = a x a - 1 y b 100 - x - y c - x a y b c 100 - x - y c - 1

Simplificando

f x = x a - 1 y b 100 - x - y c - 1 a 100 - x - y - c x

Agora a gente faz a derivada em relação a y , e vamos usar a mesma estratégia, regra do produto

f y = h ' ⋅ g + h ⋅ g '

Vamos fazer

h = x a y b

Então

h ' = b x a y b - 1

E

g = 100 - x - y c

Então

g ' = - c 100 - x - y c - 1

Logo

f y = b x a y b - 1 100 - x - y c - x a y b - c 100 - x - y c - 1

Simplificando

f y = x a y b - 1 100 - x - y c - 1 b 100 - x - y - c y

Passo 3

Agora vamos igualar as derivadas à 0.

f x = x a - 1 y b 100 - x - y c - 1 a 100 - x - y - c x = 0

f y = x a y b - 1 100 - x - y c - 1 b 100 - x - y - c y = 0

De f x podemos tirar que a 100 - x - y - c x = 0 , vamos isolar x

c x = a 100 - x - y

c x + a x = a 100 - y

x a + c = a 100 - y

Então

x = a 100 - y a + c

Agora vamos fazer isso em f y , onde só precisamos que b 100 - x - y - c y = 0 , então

c y = b 100 - x - y

y c + b = b 100 - x

Logo

y = b 100 - x c + b

Mas x = a 100 - y a + c ,então

y = b 100 - a 100 - y a + c c + b

y c + b = b 100 - a 100 - y a + c

y c + b = 100 b - a b 100 - y a + c

y c + b = 100 b - 100 a b a + c + a b y a + c

y c + b - a b y a + c = 100 b - 100 a b a + c

y c + b - a b a + c = 100 b c a + c

y = 100 b c a + c ⋅ 1 c + b - a b a + c

y = 100 b c a c + c 2 + a b + b c - a b

y = 100 b c a c + c 2 + b c

y = 100 b c c a + b + c

Finalmente chegamos

y = 100 b a + b + c

Agora que temos o valor de y podemos achar x .

x = a 100 - y a + c

x = a 100 - 100 b a + b + c a + c

E lá vamos nós de novo :/

x = 100 a - 100 a b a + b + c ⋅ 1 a + c

x = 100 a 2 + 100 a c a + b + c ⋅ 1 a + c

x = 100 a a + c a + b + c a + c

Esse foi mais rápido 😊 . x = 100 a a + b + c

Passo 4

Agora nós temos o par de ponto ( x , y ) então podemos achar o ponto z

z = 100 - x - y

z = 100 - 100 a a + b + c - 100 b a + b + c

z = 100 - 100 a + 100 b a + b + c

z a + b + c = 100 a + b + c - 100 a + 100 b

z a + b + c = 100 c

z = 100 c a + b + c

Resposta

x = 100 a a + b + c

y = 100 b a + b + c

z = 100 c a + b + c

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